Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\) thì:
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(=t^2-y^4+y^4=t^2\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x,y,z\in Z\) nên:
\(x^2\in Z,5xy\in Z,5y^2\in Z\)
\(\Leftrightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
Vậy \(A\) là số chính phương (Đpcm)
ta có (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4
=(x+y)(x+4y)(x+2y)(x+3y)+y^4
=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4
đặt x^2+5xy=a
<=>A=a(a+2y^2)+y^4
=a^2+2.a.y^2+y^4
=(a+y^2)^2
là scp
Lời giải:
\(A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4\)
\(A=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+y^4\)
\(A=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\). Khi đó:
\(A=a(a+2y^2)+y^4=a^2+2ay^2+(y^2)^2\)
hay \(A=(a+y^2)^2\) là một số chính phương.
Ta có đpcm.
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)\(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\)
\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)
\(\Rightarrow A=t^2-y^4+y^4\)
\(\Rightarrow A=t^2\)
\(\Rightarrow A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vì \(x;y;z\in Z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\in Z\\5xy\in Z\\5y^2\in Z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)
\(\Rightarrow\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương
Nên a là số chính phương ( đpcm )
Giải:
Ta có \(N=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4\)
\(\Leftrightarrow N=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4\)
Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\)
\(\Rightarrow N=a(a+2y^2)+y^4=(a+y^2)^2\) là một số chính phương
Do đó ta có đpcm.
a. \(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(t=x^2+5xy+5y^2\left(t\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)
Vậy giá trị của A là một số chính phương
\(\Leftrightarrow N=\left[\left(x-y\right)\left(x-4y\right)\right]\left[\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\right]+y^4\)
\(\Leftrightarrow N=\left(x^2+4y^2-5xy\right)\left(x^2-5xy+6y^2\right)+y^4\)
Đặt \(t=x^2+4y^2-5xy\)
Khi đó
\(N=t\left(t+2y^2\right)+y^4=t^2+2ty^2+\left(y^2\right)^2=\left(y^2+t\right)^2=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\)
=> N là số chính phương
Bổ sung: .... thì $A$ là số chính phương
Lời giải:
Ta có: \(A=y^4+[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]\)
\(=y^4+(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)\)
Đặt $x^2+5xy+4y^2=t(t\in\mathbb{Z}$ thì:
$A=y^4+t(t+2y^2)=y^4+t^2+2ty^2=(y^2+t)^2$ là số chính phương với mọi $y,t\in\mathbb{Z}$
Ta có đpcm.
\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)
\(=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)
\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương