Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3m2+m=4n2+n
=>(m-n)(4m+4n+1)=m2(1)(phân tích ra là về cái ban đầu nhé)
Gọi d là 1 ước chung của m-n và 4m+4n+1
=>(m-n)(4m+4n+1) chia hết cho d.d=d2
Từ (1) =>m2 chia hết cho d2
=>m chia hết cho d
Mà m-n cũng chia hết cho d => n chia hết cho d
=>4m+4n+1 chia d dư 1(vô lí vì d được giả sử là ước của 4m+4n+1)
=>4m+4n+1 và m-n nguyên tố cùng nhau
khi phân tích a hoặc b có thừa số nguyên tố p với mũ lẻ mà 2 số này nguyên tố cùng nhau nên số còn lại không chưa p =>m2 bằng tích của p với 1 số khác p.Mà m2 là số chính phương nên điều trên là vô lí
=>m-n và 4m+4n+1 phải cùng là số chính phương(ĐPCM)
Hơi khó hiểu nhưng đúng đó Đây là mình cố giải thích cho bạn chứ thực ra k có dòng giải thích dài dài kia đâu
giải :
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d.
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n
tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*)
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.
Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d.
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
đặt 2n + 34 = a^2
34 = a^2-n^2
34=(a-n)(a+n)
a-n thuộc ước của 34 là { 1; 2; 17; 34} và a-n . Ta có bảng sau ( mik ko bt vẽ)
=> a-n 1 2
a+n 34 17
Mà tổng và hiệu 2 số nguyên cùng tính chẵn lẻ
Vậy ....
Ta cóS = 14 +24 +34 +···+1004 không là số chính phương.
=> S= (1004+14).100:2=50 900 ko là SCP
Lời giải:
Đặt $n+1=a^2$ và $2n+1=b^2$ với $a,b$ là số tự nhiên.
Vì $2n+1$ lẻ nên $b^2$ lẻ. SCP lẻ chia $4$ dư $1$ nên $2n+1$ chia $4$ dư $1$
$\Rightarrow 2n\vdots 4$
$\Rightarrow n\vdots 2$
$\Rightarrow n+1=a^2$ lẻ. Ta biết SCP lẻ chia $8$ dư $1$ nên $n+1=a^2$ chia $8$ dư $1$
$\Rightarrow n\vdots 8(1)$
Mặt khác:
Nếu $n$ chia 3 dư $1$ thì $n+1$ chia $3$ dư $2$ (vô lý vì 1 SCP chia 3 dư 0 hoặc 1)
Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $2n+1$ chia $3$ dư $2$ (cũng vô lý)
Do đó $n$ chia hết cho $3(2)$
Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)=1$ nên $n\vdots 24$ (đpcm)
a: \(\Leftrightarrow2n+1\in\left\{1;3;9\right\}\)
hay \(n\in\left\{0;1;4\right\}\)
\(a,\Leftrightarrow10n+14⋮2n+1\\ \Leftrightarrow5\left(2n+1\right)+9⋮2n+1\\ \Leftrightarrow2n+1\inƯ\left(9\right)=\left\{1;3;9\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{0;1;4\right\}\)
chứng minh rằng nếu các số TN m và n thỏa mãn hệ thức 3m-2n=1 thì m và n là 2 số nguyên tố cùng nhau
Vì 2 n - 1 là số chính phương . Mà 2n - 1 lẻ
\(\Rightarrow2n+1=1\left(mod8\right)\)
=> n \(⋮\) 4
=> n chẵn
=> n+1 cũng là số lẻ
\(\Rightarrow n+1=1\left(mod8\right)\)
=> n \(⋮\) 8
Mặt khác :
\(3n+2=2\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)+\left(2n+1\right)=2\left(mod3\right)\)
Mà n+1 và 2n+1 là các số chính phương lẻ
\(\Rightarrow n+1=2n+1=1\left(mod3\right)\)
=> n chia hết cho 3
Mà ( 3 ; 8 ) = 1
=> n chia hết cho 24
Vì n + 1 và 2n + 1 đêu là phân số chính phương nên đặt n+1 = k\(^2\), 2n+1 = m\(^2\)( k, m \(\in\) N)
Ta có m là số lẻ => m = 2a+1 =>m\(^2\)= 4a(a+1)+1
=>n=\(\frac{m^2-1}{2}\)=\(\frac{4a\left(a+1\right)}{2}\)=2a(a+1)
=> n chẵn =>n+1 là số lẻ =>k lẻ =>Đặt k = 2b+1 (Với b \(\in\) N) =>k\(^2\)=4b(b+1)+1
=> n=4b(b+1) =>n \(⋮\)8 (1)
Ta có k\(^2\) + m\(^2\) =3n+2=2 ( mod3)
Mặt khác k\(^2\) chia 3 dư 0 hoặc 1 ,m\(^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k\(^2\)+m\(^2\) =2 (mod3) thì k\(^2\) = 1(mod3)
m\(^2\) = 1 (mod3)
=>m\(^2\)-k\(^2\)\(⋮\)3 hay (2n+1)-(n+1) \(⋮\)3 =>n \(⋮\) 3
Mà (8;3)=1
Từ (1) ; (2) và (3) => n \(⋮\) 24
