Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
gt \(\Rightarrow\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\frac{a+b+c}{a'+b'+c'}=k\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=ka'\\b=kb'\\c=kc'\\a+b+c=k\left(a'+b'+c'\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}aa'=ka'^2\\bb'=kb'^2\\cc'=kc'^2\\\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)=k\left(a'+b'+c'\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{k}\left(a'+b'+c'\right)\\\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}=\sqrt{k}\left(a'+b'+c'\right)\end{matrix}\right.\) => đpcm
Đặt \(P=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)
Ta có:
\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự và cộng lại ta được BĐT bên trái
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bên phải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(P^2\le3\left(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\right)=6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Mặt khác do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác:
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ac>c^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow P^2< 3\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:
\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)
\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)
Do đó:
\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)
\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)
\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)
Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m
Do hai tam giác có độ dài 3 cạnh là a,b,c và a',b',c' nên ta có tỷ lệ sau
\(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\)
Đặt \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=k.a'\\b=k.b'\\c=k.c'\end{cases}}\)
Ta có : \(\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{ka'.a'}+\sqrt{kb'.b'}+\sqrt{kc'.c'}\)
\(=a'.\sqrt{k}+b'.\sqrt{k}+c'.\sqrt{k}=\sqrt{k}.\left(a'+b'+c'\right)\)
Ta lại có : \(\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}=\sqrt{k.\left(a'+b'+c'\right)\left(a'+b'+c'\right)}=\sqrt{k}.\left(a'+b'+c'\right)\)
Vậy ......