Question

[Jin Tiyeon]

 Chứng minh rằng n thuộc N thì n⁵ và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau

Answer 1

[ツ★ ๖ۣۜNguyễn ๖ۣۜ Ngoc๖ۣۜ Dang★ツ ✿...]

Nếu n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau

⇒n5−n⋮10⇒n5−n⋮10

Ta có:

n5−nn5−n

=n(n4−1)=n(n4−1)

=n(n2−1)(n2+1)=n(n2−1)(n2+1)

=n(n−1)(n+1)(n2−4+5)=n(n−1)(n+1)(n2−4+5)

=n(n−1)(n+1)(n2−4)+5n(n−1)(n+1)=n(n−1)(n+1)(n2−4)+5n(n−1)(n+1)

=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)=n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)

Vì n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp

⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5

Vì n(n−1)n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮2⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮2

⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮10(1)⇒n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮10(1)

Ta có: 5n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮55n(n−1)(n+1)(n−2)(n+2)⋮5

Vì n(n−1)n(n−1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

⇒5n(n−1)(n+1)⋮2⇒5n(n−1)(n+1)⋮2

⇒5n(n−1)(n+1)⋮10(2)⇒5n(n−1)(n+1)⋮10(2)

Từ (1) và (2) suy ra

n(n+1)(n−1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)⋮10n(n+1)(n−1)(n−2)(n+2)+5n(n−1)(n+1)⋮10

⇒n5−n⋮10⇒n5−n⋮10

Vậy n và n5 có chữ số tận cùng giống nhau

hok tốt

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

Ta có: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Ta thấy (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là 5 số tự nhiên liên tiếp đồng thời chia hết cho 2 và 5

hay (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 10 (1)
Ta lại có: (n-1)n(n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n-1)(n+1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1)(2) => \(n^5-n\)chia hết cho 10 hay có chữ số tận cùng là 0

=> đpcm