Question

[Trần Dương An]

Chứng minh rằng các đa thức sau vô nghiệm

f(x)=x⁸-x⁵+x²-x+1

g(x)=x¹⁰-x⁵+x²-x+1

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Ta xét 3 khoảng giá trị:

+) Nếu \(x\le0\)thì \(x^8\ge x^5;x^2\ge x\)(dễ thấy)

\(\Rightarrow x^8-x^5\ge0;x^2-x\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge1>0\)

Ở khoảng này f(x) vô nghiệm.

+) Nếu \(0< x< 1\)

Ta có: \(f\left(x\right)=1-\left[x^5-x^8+x-x^2\right]\)

\(=1-\left[x^5\left(1-x^3\right)+x\left(1-x\right)\right]\)

Vì 0 < x < 1 nên \(x^5,1-x^3>0\)

Áp dụng bđt Cauchy, ta được:

\(\sqrt{x^5\left(1-x^3\right)}\le\frac{x^5+1-x^3}{2}\)

\(\Rightarrow x^5\left(1-x^3\right)\le\left(\frac{x^5+1-x^3}{2}\right)^2\)

Tương tự ta có: \(x\left(1-x\right)\le\left(\frac{x+1-x}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)

Lúc đó \(x^5\left(1-x^3\right)+x\left(1-x\right)\le\left(\frac{1-\left(x^3-x^5\right)}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)

\(< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}< 1\)(do x³ > x⁵ vì 0 < x < 1)

\(=1-\left[x^5\left(1-x^3\right)+x\left(1-x\right)\right]>0\)

Ở khoảng này đa thức cũng vô nghiệm.

+) Nếu \(x\ge0\)thì \(x^8\ge x^5;x^2\ge x\)

\(\Rightarrow x^8-x^5\ge0;x^2-x\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge1>0\)

Ở khoảng này đa thức cũng vô nghiệm.

Vậy đa thức f(x) vô nghiệm