IF
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DO
3
26 tháng 10 2019
Cần CM : \(a^{k+1}-a^k\ge a-1\)\(\left(k\inℕ\right)\) (1)
\(\Leftrightarrow\)\(a^k\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a^k-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\left(a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-a^{k-4}+...+1\right)\ge0\) ( đúng )
=> (1) đúng
Áp dụng vào bài toán,với k = 7 ta có \(\hept{\begin{cases}a^8-a^7\ge a-1\\b^8-b^7\ge a-1\end{cases}}\Rightarrow a^8+b^8-a^7-b^7\ge a+b-2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^8+b^8\ge a^7+b^7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 7 2017
Lời giải
Cách giải đơn giản nhất là khai triển
\(3(a^8+b^8+c^8)\geq (a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5)\)
\(\Leftrightarrow 2(a^8+b^8+c^8)\geq a^5(b^3+c^3)+b^5(c^3+a^3)+c^5(a^3+b^3)\)
\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^5-b^5)+(b^3-c^3)(b^5-c^5)+(c^3-a^3)(c^5-a^5)\geq 0(\star)\)
Xét \((a^3-b^3)(a^5-b^5)=(a-b)^2(a^2+b^2)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)\geq 0\) với mọi \(a,b>0\)
và tương tự với các biểu thức còn lại.
Suy ra BĐT \((\star)\) luôn đúng.
Ta có đpcm
Đây chính là một dạng của BĐT Chebyshev:
Với dãy số thực \(a_1\leq a_2\leq ....\leq a_n\) . Nếu tồn tại dãy số thực\(b_1\leq b_2\leq .... \leq b_n\) thì \(n(a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7 2017
Câu 2:
Tương tự câu 1 thôi.
Do \(a+b=2\) nên bài toán tương đương: \(2(a^8+b^8)\geq (a^7+b^7)(a+b)\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\geq a^7b+ab^7\Leftrightarrow (a^7-b^7)(a-b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^6+a^5b+....+ab^5+b^6)\geq 0(\star)\)
Xét \(Q=a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6\)
\(Q=(a+b)(a^5+b^5)+a^2b^2(a^2+b^2+ab)\)
Dựa vào điều kiện \(a+b=2\) và biến đổi, ta thu được \(Q=16(2-ab)^2-8ab(2-ab)-a^3b^3\)
Đặt \(ab=t\Rightarrow Q=-t^3+24t^2-80t+64\)
\(\Leftrightarrow Q=(1-t)(t-8)^2+7t^2\)
Với mọi \(a,b\in\mathbb{R}\) ta luôn có \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow t\leq 1\). Do đó \(Q\geq 0\)
Kéo theo BĐT \((\star)\) luôn đúng, bài toán luôn đúng. Do đó ta có đpcm.
R
1
22 tháng 3 2022
a.Ta có: a>b
\(\Leftrightarrow7a>7b\)
\(\Leftrightarrow7a-7>7b-7\)
b.Ta có: a>b
\(\Leftrightarrow-a< -b\) ( đổi chiều BĐT )
\(\Leftrightarrow-a+8< -b+8\)
PH
0
YY
5 tháng 7 2018
áp dụng bất đằng thức buinhia
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow1\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right)2\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)
bài cuối tương tự
HN
5 tháng 7 2018
a, \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Với mọi a, b ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
Mà a + b = 1 \(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)( đpcm )
Các câu b, c tương tự
5 tháng 7 2018
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{8}\)
\(a^8+b^8\ge\dfrac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{128}\)
HT
3
14 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y =z
Ta có: \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^2b^4c^2+b^2c^4a^2+c^2a^4b^2\)
\(=a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
14 tháng 1 2018
bạn ơi vì sao \(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 6 2019
\(C=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+ab+\frac{16}{ab}+\frac{17}{2ab}\)
\(C\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{ab.\frac{16}{ab}}+\frac{17}{\frac{2\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(C\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\frac{34}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{4^2}+8+\frac{34}{4^2}=\frac{83}{8}\)
Dấu "=" khi \(a=b=2\)
\(\Rightarrow a^7\left(a-b\right)+b^7\left(b-a\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^7-b^7\right)>=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot A>=0\), với A>=0
=>Điều này luôn đúng