KK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
20 tháng 3 2018
a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)
\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)
b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)
T
31 tháng 5 2020
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
N
10 tháng 8 2017
\(BĐT\Leftrightarrow\sum\dfrac{2bc}{1+a^2}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\sum\dfrac{-2bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge-\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{2a^2+\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
ÁP dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\sum\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
và \(\sum\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}=\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(a-c\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{4\left(a-c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a-c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
( Lưu ý : \(\left(c-a\right)^2=\left(a-c\right)^2\)) (1)
Do vậy cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a-c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)^2+4\left(a-c\right)^2\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc-ac-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (*)
(*) không phải luôn đúng, tuy nhiên ta có thể ép cho nó đúng .
bằng cách đáng giá tương tự BĐT (1) :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(b-a\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(b-a\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\\\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(c-b\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(c-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\end{matrix}\right.\)
ta thu được BĐT cần chứng minh tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}\left(b-c\right)\left(c-a\right)\ge0\left(3\right)\\\left(c-a\right)\left(a-b\right)\ge0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy \(\left(a-b\right)\left(b-c\right).\left(b-c\right)\left(c-a\right).\left(c-a\right)\left(a-b\right)=\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\ge0\)
tích của chúng là 1 số không âm nên có ít nhất 1 số không âm .Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT đúng
Do đó ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 11 2018
1. Giả sử \(a-3⋮a^2+2\Rightarrow\dfrac{a-3}{a^2+2}=A\) \(\left(A\in Z;A\ne0\right)\)
\(\Rightarrow a-3=A.a^2+2A\Rightarrow A.a^2-a+2A+3=0\)
\(\Delta=1-4A\left(2A+3\right)\ge0\Rightarrow-8A^2-12A+1\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\le A\le\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4}\)
Mà A nguyên \(\Rightarrow A=0\) hoặc \(A=-1\)
\(A=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3\)
\(A=-1\Rightarrow-a^2-a+1=0\) \(\Rightarrow\) pt ko có nghiệm nguyên
Vậy a=0 thì a-3 chia hết \(a^2+2\)
2. \(x^2-2y=1\Rightarrow2y=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
Nếu x chẵn \(\Rightarrow x=2\Rightarrow\) y không phải số tự nhiên (loại)
Nếu x lẻ \(\Rightarrow x-1\) và \(x+1\) đều là số chẵn \(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮4\)
Đặt \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)=4k\) với \(k\in N;k\ge1\)
\(\Rightarrow2y=4k\Rightarrow y=2k\)
Nếu \(k=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x^2=2y+1=5\) \(\Rightarrow\) x không phải số tự nhiên (loại)
Nếu \(k>1\) \(\Rightarrow\) y là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) y không phải là số nguyên tố
\(\Rightarrow\)Không tồn tại cặp số nguyên tố (x;y) nào để \(x^2-2y=1\)
3. Nếu d=0 =>d chia hết cho 6. Xét d>0, d là STN
Ta luôn có \(p>2\) do nếu \(p=2\Rightarrow p+2d=2\left(d+1\right)\) là hợp số, vô lý
\(\Rightarrow\) p là số lẻ \(\Rightarrow d\) là số chẵn (vì nếu d lẻ thì p+d chẵn là hợp số) \(\Rightarrow d⋮2\)
TH1: \(p=3a+1\)
Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+2d=3a+1+6b+2=3\left(a+2b+1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\) vô lý (do giả thiết p+2d là số nguyên tố)
Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+d=3a+1+3b+2=3\left(a+b+1\right)⋮3\) vô lý
Vậy \(d=3b\Rightarrow d⋮3\Rightarrow d⋮6\)
TH2: \(p=3a+2\)
Nếu \(d=3b+1\Rightarrow p+d=3a+2+3b+1=3\left(a+b+1\right)⋮3\) (loại)
Nếu \(d=3b+2\Rightarrow p+2d=3a+2+6b+4=3\left(a+2b+2\right)⋮3\) (loại)
Vậy \(d=3b⋮3\Rightarrow d⋮6\)
Kết luận: nếu p, p+d, p+2d là số nguyên tố thì d chia hết cho 6
4. Đề sai. Ta lấy ví dụ n=3 \(\Rightarrow2^3+1=9\) là hợp số, nhưng \(2^3-1=7\) là số nguyên tố
Hoặc \(n=5...\)
\(A=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{59}+2^{60}\)
\(A=\left(2^1+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{58}+2^{59}+2^{60}\right)\)
\(A=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\)
\(A=\left(2+2^4+...+2^{58}\right)\left(1+2+2^2\right)\)
\(A=7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\left(đpcm\right)\)