Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{3}{2}\)
\(< =>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=\frac{6}{2}=3\)(bđt nesbitt)
Giờ ta chỉ cần chỉ ra được \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\) thì bài toán được hoàn tất chứng minh
Thật vậy , theo BĐT Cauchy ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
Vậy bài toán đã được hoàn tất chứng minh
p/s : tí mình sẽ chứng minh bđt nesbitt ở dưới nhé
BĐT cần CM <=> \(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\frac{ac}{b\left(b+c\right)}+\frac{ab}{c\left(c+a\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\) (1)
Đặt: \(A=\frac{ab}{c\left(c+a\right)}+\frac{bc}{a\left(a+b\right)}+\frac{ca}{b\left(b+c\right)}\)
\(A=\frac{a^2b^2}{abc\left(c+a\right)}+\frac{b^2c^2}{abc\left(a+b\right)}+\frac{c^2a^2}{abc\left(b+c\right)}\)
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ SẼ ĐƯỢC:
=> \(A\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(a+b+b+c+c+a\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)
TA TIẾP TỤC 1 BĐT: \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
=> \(A\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\) (2)
TỪ (1) VÀ (2) => TA CÓ ĐPCM.
áp dụng bđt cauchy ta có:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2;\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\frac{c^3}{a}+ca\ge2c^2\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-bc-ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-a^2-b^2-c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2\left(Q.E.D\right)\)
Theo Cauchy - Schwarz ta có : \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\left|ab+bc+ac\right|\ge ab+ac+bc\)
Ta có : \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=a^2+b^2+c^2\)(đpcm)
Đây nhé
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)
Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)
Áp dụng BĐT : \(x^2+y^2\ge2xy\) ( xảy ra đẳng thức khi \(x=y\) ) , ta có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2.\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=2.\frac{a}{c}.\) Tương tự : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2.\frac{b}{a};\frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2}\ge2.\frac{c}{b}\)
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên :
\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxkia dạng phân thức ta có :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
Hay \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\)(đpcm)
Bài Hiếu đúng rồi
Cách nữa dùng cô-si
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)
\(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b\)
\(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng 3 bđt rồi chuyển vế ra đpcm
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{b^2}{b+a}-\frac{c^2}{b+c}-\frac{a^2}{c+a}\)
\(=\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{b^2}{b+a}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}-\frac{c^2}{b+c}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}-\frac{a^2}{c+a}\right)\)
\(=a-b+b-c+c-a=0\)
Từ đây ta suy ra được
\(\hept{\begin{cases}\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\le\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\\\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}\ge\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi \(|a|=|b|=|c|\)
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @tth_new
help me! cần gấp lắm ạ!
thanks nhiều!
Cách 1:
Áp dụng bđt Bunhiacopxki :
\(VT=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\cdot\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Cách 2:
Áp dụng bđt Cô-si :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\cdot\left(b+c\right)}{4\cdot\left(b+c\right)}}=a\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge b\); \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng vế :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
chưa có đk a,b,c>0, chưa thể CM