Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z
\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)
Mặt khác từ giả thiết:
\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)
\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)
\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)
Do đó:
\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)
\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
\(T\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+x+y+z}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{2019}{2}\)
áp dụng BĐT:\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\) với a,b,c,x,y,z là số dương
ta có BĐT Bunhiacopxki cho 3 bộ số:\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}};\sqrt{x}\right);\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}};\sqrt{y}\right);\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}};\sqrt{z}\right)\)
ta có :
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\left(x+y+z\right)\)\(=\left[\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\dfrac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\).\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)\(\ge\left(\dfrac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\dfrac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
lúc đó ta có :\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ta có \(T=\dfrac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\dfrac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\dfrac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\)\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+\sqrt{yz}+y+\sqrt{zx}+z+\sqrt{xy}}\) mà ta có :
\(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\)\(\le\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x+z}{2}+\dfrac{z+y}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{2019}{2}\Leftrightarrow x=y=z=673\)
vậy \(\text{MinT}=\dfrac{2019}{2}\) khi và chỉ khi x=y=z=673
xy +yz +xz = xyz
suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) ( chia 2 vế cho xyz )
\(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) ( BĐT cô si )
min P = 1 khi x = y= z =1
ook kcj