Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
\(\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{xy\left(x+y+z\right)}}=\text{Σ}\sqrt{\frac{xy}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(\le\text{Σ}\left(\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+z}}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1/3
\(Q=\Sigma\frac{x^4}{x^2+\sqrt{xy.zx}}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
=0,5
Vì có gtnn khi xy=yz=zx=1:9 => x=y=z=1:3
Thay số và tính được gtnn là A=0.5
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{xy}{\sqrt{z+xy}}=\frac{xy}{\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}}=\frac{xy}{\sqrt{xz+yz+z^2+xy}}\)
\(=\frac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{x+z}+\frac{xy}{y+z}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{yz}{\sqrt{x+yz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{yz}{x+y}+\frac{yz}{x+z}\right);\frac{xz}{\sqrt{y+xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{xz}{y+z}+\frac{xz}{x+y}\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{xy+yz}{x+z}+\frac{yz+xz}{x+y}+\frac{xy+xz}{y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}+\frac{x\left(y+z\right)}{y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z=1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Bài này phải tìm GTLN chứ nhỉ?!