Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\sum\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}\ge\sum\frac{4x^2\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)^2}=\sum\frac{4x^2}{y+z}\ge\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{min}=2\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Câu 2 có dương không nhỉ? Không dương thì không làm được
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{6}{\left(x+y\right)^2}\ge6\)
\(A_{min}=6\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
1) \(P\ge\frac{x^2.2\sqrt{yz}}{yz}+\frac{y^2.2\sqrt{zx}}{zx}+\frac{z^2.2\sqrt{xy}}{xy}=\frac{2x^2}{\sqrt{yz}}+\frac{2y^2}{\sqrt{zx}}+\frac{2z^2}{\sqrt{xy}}\ge4\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)=4\left\{\left[\frac{x^2}{y+z}+\frac{1}{4}\left(y+z\right)\right]+\left[\frac{y^2}{z+x}+\frac{1}{4}\left(z+x\right)\right]+\left[\frac{z^2}{x+y}+\frac{1}{4}\left(x+y\right)\right]\right\}-2\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)-2\left(x+y+z\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
2) \(A=\left[\frac{1}{x^2+y^2}+4\left(x^2+y^2\right)\right]+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)-4\left(x+y\right)^2-8xy\ge4+8-4-2.\left(x+y\right)^2=8-2.\left(x+y\right)^2\ge8-2=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)
Ta co A = 2(x+y)+\(\frac{2}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{2\left(x+y\right).\frac{2}{x+y}}\)=4 khi x=y =\(\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có:
\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+16\right)\ge\left(x+\frac{4}{x}\right)^2\) => \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{\left(x+\frac{4}{x}\right)^2}{17}\)
=> \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{17}}=\frac{x}{\sqrt{17}}+\frac{4}{x\sqrt{17}}\)
CMTT: \(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{y}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}y}\)
\(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}z}\)
=> A \(\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}\)(bđt: 1/a + 1/b + 1/c > = 9/(a+b+c)
=> A \(\ge\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}-\frac{15\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\)
A \(\ge2\sqrt{\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\cdot\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}}-\frac{15\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}\)(Bđt cosi + bđt: x + y + z < = 3/2)
A \(\ge\frac{48}{\sqrt{17}}-\frac{45}{2\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 1/2
Vậy MinA = \(\frac{3\sqrt{17}}{2}\) <=> x = y = z = 1/2
\(A=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}=x\left(1-\frac{y^2}{1+y^2}\right)+y\left(1-\frac{z^2}{1+z^2}\right)+z\left(1-\frac{x^2}{1+x^2}\right)\)
\(\Rightarrow A\ge x\left(1-\frac{y}{2}\right)+y\left(1-\frac{z}{2}\right)+z\left(1-\frac{x}{2}\right)=\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge3-\frac{\frac{9}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
Vay \(A_{min}=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=1\)
\(M=4xy+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\frac{3}{2xy}+24xy\ge12\)
Và: \(1\ge x+y\)
\(\Leftrightarrow1\ge\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow-20xy\ge-5\)
\(\Rightarrow M\ge4+12-5=11\)
\(''=''\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy...
\(M=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+4xy+\frac{1}{4xy}+\frac{5}{4xy}\)
\(M\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}\)
\(M\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+2=\frac{9}{\left(x+y\right)^2}+2\ge\frac{9}{1}+2=11\)
\(\Rightarrow M_{min}=11\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Dự đoán điểm rơi tại x = y = 2/3 ta sẽ làm như sau
\(A=x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(=\left(\frac{9x}{4}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{9y}{4}+\frac{1}{y}\right)-\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{9x}{4x}}+2\sqrt{\frac{9y}{4y}}-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" tại x = y = 2/3
Cách khác là UCT (không hay như cách kia đâu=)
Ta sẽ chứng minh: \(x+\frac{1}{x}\ge-\frac{5}{4}x+3\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-2\right)^2}{4x}\ge0\) (đúng)
Thiết lập tương tự BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge-\frac{5}{4}\left(x+y\right)+6\ge-\frac{5}{4}.\frac{4}{3}+6=\frac{13}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi 3x - 2 = 3y - 2 = 0 tức là x = y = 2/3
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
