Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^3=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
\(\Rightarrow B=\frac{x^3+y^3+3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy}{xy}\)
\(=4+\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\)
Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3xy}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^3+y^3}{xy}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow B\ge4+2\sqrt{3}\)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3xy}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3xy}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\3\sqrt{xy}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{6-2\sqrt{5}}{12}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{6-2\sqrt{5}}{12}=0\)\(\Leftrightarrow x,y=\frac{1\pm\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-3}{3}}}{2}\)
Ta có :
\(P=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\frac{\left(x+y\right)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{xy}\)
\(=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y^3}{xy}=4+\left(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{3}\)
Vậy GTNN của P là \(4+2\sqrt{3}\) khi = \(\frac{3xy}{x^3+y^3}=\frac{x^3+y^3}{xy}\)và x + y = 1
P/s : tự giải dấu "=" nhé. mình lười ghi
Ta có \(P=\frac{1}{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1-2xy}{xy\left(1-3xy\right)}\)
Theo Cosi \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
Gọi \(P_0\)là một giá trị của P khi đó \(\exists x,y\)để \(P_0=\frac{1-2xy}{xy\left(1-3xy\right)}\Leftrightarrow3P_0\left(xy\right)^2-\left(2+P_0\right)xy+1=0\left(1\right)\)
Để tồn tại x,y thì (1) phải có nghiệm xy \(\Leftrightarrow\Delta=P_0^2-8P_0+4\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P_0\ge4+2\sqrt{3}\\P_0\le4-2\sqrt{3}\end{cases}}\)
Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B>0. Do đó ta có \(P_0\ge4+2\sqrt{3}\)
Với \(P_0=4+2\sqrt{3}\Rightarrow xy=\frac{2+P_0}{6P_0}=\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}\Rightarrow x\left(1-x\right)=\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2},x=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\)
Vậy \(min_P=4+2\sqrt{3}\)đạt được khi \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2};y=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2};y=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\end{cases}}\)
Bạn cần viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(P=\text{}\Sigma_{cyc}a\sqrt{b^3+1}=\Sigma_{cyc}a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\Sigma_{cyc}a.\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}=\Sigma_{cyc}\frac{ab^2+2a}{2}=\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\)Giả sử b là số nằm giữa a và c thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Rightarrow b^2+ac\le ab+bc\)\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+abc+bc^2\le a^2b+2abc+bc^2=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh: \(b\left(3-b\right)^2\le4\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(b-1\right)^2\le0\)(đúng với mọi \(b\in[0;3]\))
Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+3\le\frac{1}{2}.4+3=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị
Bài 1: Đặt \(a=xc,b=yc\left(x,y>0\right)\)thì điều kiện giả thiết trở thành \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)
Khi đó \(P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}=\frac{x^2+y^2+3\left(x+y\right)}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)\(=\frac{\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-2xy}{xy+3\left(x+y\right)+9}+\frac{xy}{x+y}\)
Có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-\left(x+y\right)\)
Đặt \(t=x+y\left(0< t< 3\right)\Rightarrow xy=3-t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{t^2}{4}\Rightarrow t\ge2\)(do t > 0)
Lúc đó \(P=\frac{t^2+3t-2\left(3-t\right)}{3-t+3t+9}+\frac{3-t}{t}=\frac{t}{2}+\frac{3}{t}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{t}{2}.\frac{3}{t}}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)với \(2\le t< 3\)
Vậy \(MinP=\sqrt{6}-\frac{3}{2}\)đạt được khi \(t=\sqrt{6}\)hay (x; y) là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x+y=\sqrt{6}\\xy=3-\sqrt{6}\end{cases}}\)
Ta lại có \(P=\frac{t^2-3t+6}{2t}=\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{2t}+1\le1\)(do \(2\le t< 3\))
Vậy \(MaxP=1\)đạt được khi t = 2 hay x = y = 1
\(x^2+\frac{1}{x^2}=23\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2=21\)
\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2.x.\frac{1}{x}=21\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=21\)
Mà \(x;y\) âm nên \(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=-\sqrt{21}\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^3+\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x^3}=\left(\frac{1}{x}+x\right)+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\)
\(=-\sqrt{21}+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=-\sqrt{21}.23\)
\(\Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=-\sqrt{21}.23+\sqrt{21}=-22\sqrt{21}\)