Question

[•๖ۣۜHυүềη ²ƙ⁷ ( ๖ۣۜTεαм ๖ۣۜBạ¢ɦ ๖ۣۜ...]

 Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AH vuông góc BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ AE vuông góc AB và AE = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ AF vuong góc AC và AF = AC. Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N thuộc AH).

      a)  Chứng minh rằng:  EM + BH = HM;   FN + CH  = HN

      b)  Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng.

      c)  Trên đoạn thẳng AH lấy điểm O (O khác điểm A, H). Chứng tỏ rằng:

                 OA + OB + OC < AB +BC + AC < 2(OA + OB + OC

Answer 1

[hanvu]

tự vẽ hình nha

a, Xét tg EMA vuông tại M có: góc MEA + góc MAE = 90 độ

Ta có: góc MAE + góc BAH = 180 độ - góc EAB = 90 độ

=> góc MEA = góc BAH

Xét tg EMA và tg AHB có:

góc EMA = góc AHB (=90)

EA = AB (gt)

góc MEA = góc BAH (cmt)

=>tg EMA = tg AHB (ch-gn)

=> EM = AH ; AM = BH

=> EM + BH = AH + AM = HM 

ý 2 tương tự chứng minh được FN = AH ; CH = AN => đpcm

b, Ta có: EM _|_  AH (gt) ; FN _|_ AH (gt)

=> EM // FN

Mà EM = FN ( = AH)

=> tứ giác ENFM là HBH

Xét HBH ENFM có: EF và MN là 2 đường chéo cắt nhau

Mà I là trung điêmmr của MN

=> I cũng là trung điểm của EF

=> E,I,F thẳng hàng

Answer 2

[hanvu]

c, Áp dụng bđt tam giác vào tg OAB,OBC và OCA có:

OA+OB>AB

OB+OC>BC

OC+OC>CA

=>2(OA+OB+OC)>AB+BC+CA (1)

Lại có: OA+OB<AC+BC

OB+OC<AB+AC

OC+OA<BC+AB

=>2(OA+OB+OC)<2(AB+BC+CA)

=>OA+OB+OC<AB+BC+CA (2)

từ (1) (2) => đpcm