Question

[Pham Trong Bach]

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ kẻ từ B và C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng HE = DK.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Vì BD, CE là đường cao của tam giác ABC nên do đó Δ BDC vuông tại D, Δ CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC

⇒ DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ BDC và Δ CEB.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác trên ta được:

⇒ DM = EM ⇒ Δ MDE cân tại M.

Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI ⊥ DE thì BH//MI//CK    ( 1 ) (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE)

Mà ta có BM = MC    ( 2 ) (do ta vẽ hình trên)

Từ ( 1 ),( 2 ) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK    ( 3 ).

Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được:

EI = ID    ( 4 ).

Trừ theo vế đẳng thức ( 3 ) cho ( 4 ), ta được: HE = DK.