Question

[Thanh Hằng Nguyễn]

Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của CB, AC, BA lấy thứ tự các điểm M, N, P sao cho  CM = AN = BD = AB. Chứng minh  điểm M, N,P cách đều trọng tâm O của tam giác ABC

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Gọi giao điểm của AO;BO;CO với BC;AC;AB lần lượt là J;K;H

Do O là trọng tâm của Tam giác ABC => O cũng là trực tâm; trọng tâm của tam giác

\(\Rightarrow BO\perp AC;CO\perp AB;AO\perp BC\) Hay \(\widehat{AKB}=\widehat{AJP}=\widehat{AJM}=90^0\) và AK=BJ=JC

\(\Rightarrow NK=JM=JP\)

Xét \(\Delta OKN;\Delta OJP;\Delta OJM\) ta có : \(\)

\(\widehat{AKB}=\widehat{AJP}=\widehat{AJM}=90^0\left(cmt\right);NK=JM=JP\left(cmt\right)\)

\(\Delta OJP;OJM\) chung OJ và \(OJ=OK\left(=\frac{1}{3}AJ=\frac{1}{3}BK\right)\)

\(\Rightarrow\Delta OKN=\Delta OJP=\Delta OJM\left(c-g-c\right)\)

=> ON=OM=OP hay O cách đều M;N;P (đpcm)