Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
=> BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE.
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
=>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
(Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/
(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
=> ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).
a) Xét \(\Delta\)ADE có:
ADE+DAE+AED=180o (đl tổng ba góc \(\Delta\))
\(\Rightarrow\)AED=180o-90o-60o
\(\Rightarrow\)AED=30o
Ta có:
AD=\(\frac{1}{2}\)AE (t/c cạnh đối diện góc 30o trong \(\Delta\)vuông) (1)
Mà AD=\(\frac{1}{3}\)AB
\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{3}\)(AD+BD)
\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{3}\)AD+\(\frac{1}{3}\)BD
\(\Rightarrow\)AD-\(\frac{1}{3}\)AD=\(\frac{1}{3}\)BD
\(\Rightarrow\frac{2}{3}\)AD=\(\frac{1}{3}\)BD
\(\Rightarrow\)2AD=BD
\(\Rightarrow\)AD=\(\frac{1}{2}\)BD (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\)AE=BD
\(\Rightarrow\)AC-AE=AB-BD (AB=AC \(\Delta\)ABC đều)
\(\Rightarrow\)EC=AD
Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)CEF có:
ADE=CÈ (=90o)
EC=AD (cmt)
EAD=ECF (=60o)
\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)CEF (g.c.g)
\(\Rightarrow\)AE=CF (2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\)AC-AE=BC-CF (AC=BC \(\Delta\)ABC đều)
\(\Rightarrow\)EC=BF
Mà EC=AD
\(\Rightarrow\)BF=AD
Xét \(\Delta\)ADE và \(\Delta\)BFD có:
AD=BF (cmt)
DAE=DBF (=60o)
AE=BD (cmt)
\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)BFD (c.g.c)
\(\Rightarrow\)ADE=BFD (2 góc tương ứng)
Mà ADE=90o
\(\Rightarrow\)BFD=90o
\(\Rightarrow\)DF \(\perp\)BC (đcm)
b) Vì \(\Delta\)ADE=\(\Delta\)CÈ
\(\Delta\)ADE=\(\Delta\)BFD
\(\Rightarrow\Delta\)ADE=\(\Delta\)CEF=\(\Delta\)BFD
\(\Rightarrow\)DE=EF=FD (cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\Delta\)DEF đều (đpcm)
