Question

[lien nguyen]

Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là 1 điểm trên cung BC không chứa điểm A.

a. Xác định vị trí điểm D để tứ giác BHCD là hình bình hành

b. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC. CMR: P,H,Q thẳng hàng

c. Tìm vị trí D để PQ có độ dài lớn nhất 

Answer 1

[_____Teexu_____ Cosplayerr]

a) Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành. Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH
và BH
 

BD
và CD
.
Do đó:
ABD = 900 và
ACD = 900 . 
Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O 
Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD của đường tròn tâm O thì tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên
APB =
ADB 
nhưng
ADB =
ACB ,
ADB =
ACB. Do đó:
APB =
ACB 
Mặt khác:
AHB +
ACB = 1800

APB +
AHB = 1800 
Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên
PAB =
PHB
Mà
PAB =
DAB do đó:
PHB =
DAB
Chứng minh tương tự ta có:
CHQ =
DAC 
Vậy
PHQ =
PHB +
BHC +
CHQ =
BAC +
BHC = 1800
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng.
c) Ta thấy
APQ là tam giác cân đỉnh A 
Có AP = AQ = AD và
PAQ =
2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt

Answer 2

[Bảo Thư]

900 là gì vậy ạ? Hay là 90°??