Question

[Phạm Trần Bảo Trâm]

Cho tam giác ABC vuông tại A . đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M trên cung nhỏ AM lấy điểm E( E khác Avà M ) , kéo dài BE cắt AC tại F

1. Chứng minh góc BEM = góc ACB, từ đó suy ra MEFC là tứ giác nội tiếp

2. Gọi K là giao điểm của ME và AC, chứng minh AK^2 = KE . KM 

Answer 1

[Phạm Minh Hưng]

1) Ta có  △ABM vuông tại M (∠AMB chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB)

Xét △ABM và △ABC có:

∠B chung

∠AMB=∠BAC=90 độ

Vậy △ABM ∼△ABC (g-g)

=>∠BAM=∠BCA

Mà ∠BAM=∠BEM ( Góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

=>∠BEM=∠BCA

Suy ra tứ giác MEFC nội tiếp ( Góc ngoài= Góc đối trong)

2) Vì △ABC vuông tại A nên AC tiếp tuyến (O)

=>∠EAC=∠ABE

Mà ∠ABE=∠AME ( Góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

=>∠EAC=∠AME hay ∠EAK=∠AMK

Xét △AEK và △AKM có ∠K chung

∠EAK=∠AMK (cmt)

Vậy △AEK ∼△AKM(g-g)

=> KE/AK=AK/KM <=> AK²=KE.KM (đpcm)

Answer 2

[KS Gaming]