Question

[Linh Ngân Phạm Ngọc]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) (AB<AC) và đường cao AD. Vẽ đường kính AE của (O).

a) Chứng minh hai tam giác ADB và ACE đồng dạng và AD.AE=AB.AC

b) Vẽ dây AF của (O) song song với BC, FE cắt AC tại Q, BF cắt AD tại P.

Chứng minh PQ//BC

c) AE cắt BC tại K. Chứng minh AB.AC - AD.AK= \(\sqrt{BD.BK.CD.CK}\)

d) Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại I, AI cắt cung nhỏ BC tại H. Khi A di động trên (O) và BC cố định.

Chứng minh FH luôn đi qua một điểm cố định.

Mọi người giúp mình phần b) c) d) với ạ. Mình cảm ơn

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có: Tứ giác ABEC nội tiếp đường tròn (O) => ^ABC=^AEC hay ^ABD=^AEC.

Xét \(\Delta\)ADB và \(\Delta\)ACE: ^ABD=^AEC; ^ADB=^ACE (=90⁰) => \(\Delta\)ADB ~ \(\Delta\)ACE (g.g)

=> \(\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow AB.AC=AD.AE\)(đpcm).

b) Gọi giao điểm của AC và BF là M.

Ta có: AF//BC => ^AFM=^CBM. Mà ^CBM=^FAM (Cùng chắn cung CF) => ^AFM=^FAM

=> \(\Delta\)AMF cân đỉnh M => AM=FM.

Lại có: ^BCM=^FAM (So le trg) => ^BCM=^CBM => \(\Delta\)BMC cân tại M => MB=MC

=> \(\Delta\)AMB=\(\Delta\)FMC (c.g.c) => ^ABM=^FCM => ^ABM+^MBC=^FCM+^CBM => ^ABC=^FCB

=> Tứ giác ABCF là hình thang cân => ^BAF=^CFA.

Dễ thấy: ^DAF=90⁰ (Do AD vuông BC và AF//BC); ^EFA=90⁰

=> ^BAF - ^DAF = ^CFA - ^EFA => ^BAD=^CFE hay ^BAP=^CFQ

Xét \(\Delta\)APB và \(\Delta\)FQC: AB=FC; ^BAP=^CFQ; ^ABP=^FCQ

=> \(\Delta\)APB=\(\Delta\)FQC (g.c.g) => AP=FQ (2 cạnh tương ứng)

Xét tứ giác APQF: ^PAF=^QFA (=90⁰); AP=FQ => Tứ giác APQF là hình chữ nhật

=> ^APQ=90⁰ => PQ vuông góc AD. Mà AD vuông BC nên PQ//BC (Q.h //, vg góc).

c) Gọi giao điểm của FE với BC là R; AD cắt (O) tại L.

Theo chứng minh ở câu a): \(AB.AC=AD.AE\)

\(\Rightarrow AB.AC-AD.AK=AD.AE-AD.AK=AD\left(AE-AK\right)=AD.KE\)(*)

Ta có tứ giác ABEC nội tiếp (O) => \(\Delta\)AKC ~ \(\Delta\)BKE (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AK}{BK}=\frac{CK}{KE}\Rightarrow BK.CK=AK.KE\)(1)

Tương tự: \(\Delta\)ADC ~ \(\Delta\)BDL (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{DL}\Rightarrow BD.CD=AD.DL\)(2)

Nhân (1) với (2) theo vế, ta được: 

\(BD.CD.BK.CK=AD.AD.KE.AK=\left(KE.AD\right).\left(AK.DL\right)\)(3)

Dễ c/m: 2 tứ giác AFRD và AFEL là hình chữ nhật => AD=FR và AL=FE

=> AL-AD = FE-FR => DL=RE, thay vào (3) suy ra:

\(BD.CD.BK.CK=\left(KE.AD\right).\left(AK.RE\right)\)(4)

Áp dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{AK}{KE}=\frac{AD}{RE}\)(Do AD//RE) \(\Rightarrow AK.RE=KE.AD\)

Thay vào (4) => \(BD.CD.BK.CK=\left(KE.AD\right).\left(KE.AD\right)=\left(KE.AD\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{BD.CD.BK.CK}=KE.AD\)(**)

Từ (*) và (**) => \(AB.AC-AD.AK=\sqrt{BD.CD.BK.CK}\)(đpcm).