Question

[dinh thi tuyet hong]

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AC, qua M kẻ các đường thẳng ME, MF lần lượt song song với các cạnh AB, BC (E thuộc BC và F thuộc AB). Tìm vị trí của M để dt tứ giác BEMF có dt lớn nhất.

Answer 1

[cuong nguyen manh]

Tứ giác BEMF là hình bình hành ( hai cặp cạnh đối song song)

Kẻ AH vuông góc BC tại H , AH cắt MF tại G. Ta có diện tích ABC=1/2AH*BC và S bemf=fm*gh nên Sbemf/Sabc=2*HG/AH*FM/BC

Gọi AM = x; MC = y  thìAC = x + y Xét tam giácABC có MF // BC (gt)FM/BC=AM/AC ( hệ quả định lí Talet) Thì FM/BC=x/x+y

Xét tam giácAHC có GM //HCthì HG/AH=CM/AC ( định lí Talet) HG/AH=x/x+y

Do đó  Sbefm/Sabc=2*xy/(x+y)^2 Ta có : (x-y)^2>=0thif(x+y)^2>=4xy thì xy/(x+y)^2<=1/4

Sbemf/Sabc<=2*1/4hay Sbemf<=1/2Sabc

Mà Sabc không đổi nên Sbemf đạt giá trị lớn nhất là 1/2Sabc khi và chỉ khi x=y  Hay M là trung điểm của AC. Gõ mỏi tay ko biết đc j ko-_-