Question

[I lay my love on you]

Cho tam giác ABC đều và M nằm trong tam giác ABC.Từ M kẻ đường song song với BC;CA;AB cắt các cạnh AB;BC;CA lần lượt tại N;P;Q.Tìm vị trí điểm M để tam giác NPQ đều

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Ta có: ^MPB = ^ACB = 60⁰ => ^MPB = ^ABC hay ^MPB = ^NBP

Xét tứ giác BNMP có: MN // BP và ^MPB=^NBP => Tứ giác BNMP là hình thang cân

=> NP = BM. Tương tự: 2 tứ giác AQMN & CPMQ là htc => NQ=AM; PQ=CM

Ta thấy: \(\Delta\)NPQ là tam giác đều <=> NP=NQ=PQ <=> BM=AM=CM 

<=>  Điểm M cách đều 3 đỉnh A;B;C của \(\Delta\)ABC <=> M là tâm của tam giác đều ABC

Vậy khi M là tâm của \(\Delta\)ABC thì \(\Delta\)NPQ đều.