Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình làm cách này là cách khj nào mà ko cách nào khác ms làm vậy thôi, áp dụng định lí sin và cosin trong tam giác
1) ta co ket qua nhu sau:
sinAcosA+cosAcosB = sinAsinB+sinAcosA
<=> cosAcosB-sinAsinB=0
<=>cos(A+B)=0
<=> -cosC=0 (vi A+B+C=180)
hay cosC=0 => C=90
\(VT=tanA+tanB+tanC=\dfrac{sinA}{cosA}+\dfrac{sinB}{cosB}+\dfrac{sinC}{cosC}\\ =\dfrac{sinA.sinB+cosA.cosB}{cosA+cosB}+\dfrac{sinC}{cosC}\\ =\dfrac{sin\left(A+B\right)}{cosA.cosB}+\dfrac{sinC}{cosC}\)
Theo định lý tổng 3 góc trong tam giác :
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
\(\Rightarrow A+B=180^o-C\\ \Leftrightarrow sin\left(A+B\right)=sin\left(180^o-C\right)=sinC\\ =\dfrac{sinC}{cosAcosB}+\dfrac{sinC}{cosC}\\ =\dfrac{sinC}{cosAcosBcosC}\left(cosC+cosAcosB\right)\\ =\dfrac{sinC}{cosAcosBcosC}\left(-cos\left(A+B\right)+cosAcosB\right)\\ =\dfrac{sinC}{cosAcosBcosC}\left(-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB\right)\\ =\dfrac{sinAsinBsinC}{cosAcosBcosC}\\ =\dfrac{sinA}{cosA}.\dfrac{sinB}{cosB}.\dfrac{sinC}{cosC}=tanA.tanB.tanC=VP\left(đpcm\right)\)
\(\Rightarrow \tan A+\tan C=2\tan B\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos A\cos C}=2\cdot\frac{\sin\left ( A+C \right )}{\cos B}\\\)
\(\Rightarrow \cos B=2\cos A\cos C\)
\(\Leftrightarrow 2\cos B=\cos(A-C)\)
\(\left (\cos A+\cos C \right )^2=\cos^2 A+\cos^2 C+2\cos A\cos C\\=\frac{\cos2A+\cos2C}{2}+1+\cos B\\=-\cos(B)\cos(A-C)+1+\cos B \\=-2\cos^2B+\cos B+1 \le \frac{9}{8}\\\Rightarrow \cos A+\cos C\le \frac{3\sqrt2}{4}\)
Chứng minh hoàn tất.