Question

[Vân Hồ]

cho tam giác ABC có góc A=90 , AB=10 cm . gọi D là trung điểm của BC. gọi M là điểm đối xứng với D qua AB . E là giao điểm của DM và AB. Kẻ DF vuông góc với AC ( F thuộc AC )

a) tính độ dài DF

b) chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi

c) tam giác ABC có điều kiện gì để tam giác AEDF là hình vuông

Answer 1

[Phương An]

a)

D là trung điểm của BC (gt)

mà DF // AB (AB _I_ AC; DF _I_ AC)

=> F là trung điểm của AC

mà D là trung điểm của BC (gt)

=> DF là đường trung bình của tam giác CAB

=> DF = \(\frac{1}{2}\)AB = 10 : 2 = 5 (cm)

b)

D là trung điểm của BC

mà DE // AC (DE _I_ AB; AC _I_ AB)

=> E là trung điểm của AB

mà E là trung điểm của MD (M đối xứng D qua AB)

=> ADBM là hình bình hành

mà AB _I_ MD (M đối xứng D qua AB)

=> ADBM là hình thoi

c)

DEA = EAF = AFD = 90⁰

=> AEFD là hình chữ nhật

=> AEFD là hình vuông

<=> AD là tia phân giác của BAC

mà AD là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A (D là trung điểm của BC)

=> Tam giác ABC vuông cân tại A

Answer 2

[Hải Ninh]

Bạn tự vẽ hình nha!!!

Ta có:

\(AC \perp AB\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A (gt))

\(AC \perp DF\) (gt)

\(\Rightarrow\) AB // DF (Định lí 1 bài từ vuông góc đến song song)

mà D là trung điểm BC (gt)

\(\Rightarrow\) F là trung điểm của AC (Định lí 1 bài đường trung bình của tam giác)

Xét \(\Delta ABC\) có:

D là trung điểm BC (gt)

F là trung điểm của AC (cmt)

\(\Rightarrow\) DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DF=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

b) Chứng minh tương tự ta có E là trung điểm AB

Xét tứ giác ADBM có:

\(\Rightarrow EM=ED\) (M đối xứng với D qua AB (gt))

\(EA=EB\left(cmt\right)\)

MD giao AB tại E (gt)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ADBM là hình bình hành (dhnb)

mà \(AB \perp MD\) (M đối xứng với D qua AB (gt))

\(\Rightarrow\) Tứ giác ADBM là hình thoi (dhnb)

c) Xét tứ giác AEDF có:

\(\widehat{EAF} = 90^0\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A (gt))

\(\widehat{AED} = 90^0\) (\(MD \perp AB\))

\(\widehat{AFD} = 90^0\) (\(DF \perp AC\))

\(\Rightarrow\) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (dhnb)

Để hình chứ nhật AEDF

\(\Leftrightarrow\) AEDF là hình thoi

\(\Leftrightarrow\) AD là tia phân giác của \(\Delta ABC\) (vì AD là đường trung tuyến)

\(\Leftrightarrow\) \(\Delta ABC\) cân tại A (vì \(\Delta ABC\) vuông tại A (gt))

\(\Leftrightarrow\)\(\Delta ABC\) vuông cân tại A