Question

[Hồ Thu Giang]

Cho tam giác ABC có các đường cao AD; BE; CF.

CMR: AD; BE; CF đồng qui 

Answer 1

[Hùng Hoàng]

 Giả sử tam giác ABC có các đường cao AH, BK, CI. Ta cần c/m AH, BK, CI đồng quy. 
~~~~~~~ 
Qua 3 đỉnh A, B, C của tam giác, lần lượt kẻ các đường thẳng song song với các cạnh đối diện, chúng cắt nhau tại A'; B'; C'. (A' nằm khác phía với A qua BC, B' nằm khác phía với B qua AC, C' nằm khác phía với C qua AB). 
Xét tam giác ABC và tam giác BAC' có: 
góc BAC = góc ABC' (so le trong) 
AB chung 
góc ABC = góc BAC' (so le trong) 
=> tam giác ABC = tam giác BAC' (gcg) 
=> AC = BC'. 
Chứng minh tương tự ta có AC = BA'. 
=> BC' = BA' => B là trung điểm của A'C'. 
Do BK _|_ AC, A'C' // AC => BK _|_ A'C'. 
=> BK là đường trung trực của A'C'. 
Cmtt => AH và CI là trung trực của B'C' và A'B'. 
=> AH, BK, CI là 3 đường trung trực của tam giác A'B'C'. Ta dễ dàng c/m được 3 đường trung trực của tam giác đồng quy dựa vào tính chất điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thằng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Vậy AH, BK, CI đồng quy tại 1 điểm, điểm đó gọi là trực tâm của tam giác ABC.