Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(HK\perp BC,K\in BC;\overrightarrow{HK}=\left(0;-2\right)\Rightarrow y-1=0\)
Gọi M là trung điểm của BC ta có phương trình \(x+3=0;M=IM\cap BC\Rightarrow M\left(-3;1\right)\)
Gọi D là điểm đối xứng của A qua I chỉ ra BHCD là hình bình hành. Khi đó M là trung điểm của HD, suy ra D(-5;-1).
I là trung điểm của AD, suy ra A(-1;7)
\(AI=\sqrt{20}\), phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : \(\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2=20\)
Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình :
\(\begin{cases}y-1=0\\\left(x+3\right)^2+\left(y-3\right)^2=20\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x=-7\\y=1\end{cases}\)
Vậy ta có \(B\left(1;1\right),C\left(-7;1\right)\) hoặc \(B\left(-7;1\right),C\left(1;1\right)\)
Suy ra \(A\left(-1;7\right);B\left(1;1\right),C\left(-7;1\right)\)
hoặc\(A\left(-1;7\right);B\left(-7;1\right),C\left(1;1\right)\)
a) Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(-1;-5\right)\)
Do \(2:\left(-1\right)\ne2:\left(-5\right)\) nên A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
b)
- Gọi \(G\left(x_1;y_1\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó \(x_1=\frac{1+3+3}{3}=2\) và \(y_1=\frac{2+4+\left(-1\right)}{3}=\frac{5}{3}\)
Suy ra \(G\left(2;\frac{5}{3}\right)\)
- Gọi \(H\left(x_2,y_2\right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó H thỏa mãn :
\(\begin{cases}AH\perp BC\\CH\perp AB\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)
Từ đó, ta có hệ
\(\begin{cases}x_2+5y_2-6=0\\x_2+y_2-1=0\end{cases}\)
Giải hệ thu được ( \(x_2;y_2\)) \(=\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\) do đó \(H\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\)
- Gọi \(I\left(x_3,y_3\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\) nên ta có hệ :
\(\begin{cases}1-x_3+3-x_3+2-x_3=-\frac{3}{4}-x_3\\2-y_4+4-y_3-1-y_3=\frac{7}{4}-y_3\end{cases}\)
Giải hệ ta thu được \(\left(x_3,y_3\right)=\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)
Do đó \(I\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)
a)
– Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
– Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:
Cách 1:
+ Phương trình đường cao BD:
BD ⊥ AC ⇒ Đường thẳng BD nhận 
là một vtpt
BD đi qua B(2; 7)
⇒ Phương trình đường thẳng BD: 7(x - 2) +11(y - 7) = 0 hay 7x + 11y – 91 = 0
+ Phương trình đường cao CE:
CE ⊥ AB ⇒ Đường thẳng CE nhận 
là một vtpt
CE đi qua C(–3; –8)
⇒ Phương trình đường thẳng CE: 1(x + 3) – 2(y + 8)=0 hay x – 2y – 13 = 0.
Trực tâm H là giao điểm của BD và CE nên tọa độ của H là nghiệm của hpt:
Cách 2: Gọi H(x, y) là trực tâm tam giác ABC
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
b) Gọi T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Khi đó TA = TB = TC = R.
+ TA = TB ⇒ AT2 = BT2
⇒ (x – 4)2 + (y – 3)2 = (x – 2)2 + (y – 7)2
⇒ x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49
⇒ 4x – 8y = –28
⇒ x – 2y = –7 (1)
+ TB = TC ⇒ TB2 = TC2
⇒ (x – 2)2 + (y – 7)2 = (x + 3)2 + (y + 8)2
⇒ x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49 = x2 + 6x + 9 + y2 + 16y + 64
⇒ 10x + 30y = –20
⇒ x + 3y = –2 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ x = –5, y = 1 ⇒ T(–5 ; 1).
⇒ T, H, G thẳng hàng.
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC: T(–5; 1)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC:
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
(x + 5)2 + (y – 1)2 = 85
Lời giải:
Gọi \(B(a,b)\) và \(C(c,d)\)
Ta có \(\overrightarrow {HA}=(0,4)\perp \overrightarrow{BC}=(c-a,d-b)\Rightarrow 4(d-b)=0\rightarrow b=d\)
Thay \(d=b\):
\(\overrightarrow{HB}=(a-1,b-2)\perp \overrightarrow{AC}=(c-1,b-6)\)
\(\Rightarrow (a-1)(c-1)+(b-2)(b-6)=0\)
Lại có \(IA^2=IB^2=IC^2\leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\\\left(c-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (a-2)^2=(c-2)^2\rightarrow a+c=4\) ( \(a\neq c\) )
Ta thu được
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)^2+\left(b-3\right)^2=10\\\left(3-a\right)\left(a-1\right)+\left(b-2\right)\left(b-6\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2-4a-6b+3=0\\ -a^2+4a+b^2-8b+9=0\end{matrix}\right.\Rightarrow 2b^2-14b+12=0\rightarrow b=1\)
hoặc \(b=6\)
Thay vào PT suy ra \(\left[{}\begin{matrix}-a^2+4a+2=0\\-a^2+4a-3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2+\sqrt{6}\\a=1;a=3\end{matrix}\right.\)
Vậy.....
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(4;-3\right)\)
Gọi H(x;y) là trực tâm của tam giác ABC thế thì \(\overrightarrow{CH}=\left(x-2;y\right),\overrightarrow{AH}=\left(x;y-1\right)\)
Ta có H là trực tâm của tam giac ABC khi và chỉ khi
\(\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}4x-3\left(y-1\right)=0\\-2\left(x-2\right)+2y=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-9\\y=-11\end{cases}\)
Vậy trực tâm của tam giác ABC là H(-9;-11)
Để tìm tọa độ của tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có thể sử dụng công thức khoảng cách IA=IB=IC hoặc sử dụng đẳng thức Vecto \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\)
Hoặc cũng có thể làm như sau :
Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Khi đó M(-1;2) và \(N\left(0;\frac{3}{2}\right)\)
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó :
\(\begin{cases}\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=0\\\overrightarrow{IN}.\overrightarrow{BC}=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(-1-x\right)+2\left(2-y\right)=0\\4\left(-x\right)-3\left(\frac{3}{2}-y\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{15}{2}\end{cases}\)
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là \(I\left(\frac{9}{2};\frac{15}{2}\right)\)
