Question

[Minh Triều]

cho tam giác ABC có 2 trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau . Đặt BC = a , AC = b , AB = c

a) tính a theo b và c

b) C/m cotan B + cotan C   \(\ge\frac{2}{3}\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Chứng minh: (bài toán phụ): tam giác ABC có BC = a; AC - b; AB = c. Chứng minh: b² = a² + c² - 2ac. cosB

kẻ đường cao AH . 

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông AHC có:   b² = AH² + CH² = AH² + (BC - BH)² = (AH²  + BH² ) + BC² - 2.BH.BC 

=> b² = AB²  + BC²  - 2.AB. cosB . BC = c² + a² - 2ca. cosB

Answer 2

[Trần Thị Loan]

a) 

Gọi G là giao của BM và CN

Áp dụng ĐL Pi ta go trong tam giác vuông GBC có: GB² + GC² = BC² = a²   (*)

Áp dụng kết quả bài toán phụ ( chứng minh trên) trong tam giác BMC ta có: 

BM² = BC² + CM² - 2.CM . BC. cos C

Thay  CM = b/2 ; cos C = \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) ta được BM² = a² + \(\frac{b^2}{4}\) - 2.\(\frac{b}{2}\). a. \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) = ...= \(\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\)

Áp dụng tương tự, trong tam giác CNB có: CN² = \(\frac{2b^2+2a^2-c^2}{4}\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GB = \(\frac{2}{3}\) BM ; GC = \(\frac{2}{3}\) CN 

=> GB² = \(\frac{4}{9}\)BM² = \(\frac{4}{9}\).\(\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4}\)

GC² = \(\frac{4}{9}.\frac{2b^2+2a^2-c^2}{4}\)

Thay vào (*) ta được  : \(a^2=\frac{4\left(2a^2+2c^2-b^2\right)}{36}+\frac{4\left(2b^2+2a^2-c^2\right)}{36}\)

=> 36a² = 16a² + 4c² + 4b² 

=> 5a² = b² + c²  => a² = (b² + c²)/5