Question

[阮芳草]

Cho tam giác ABC ( AB<AC) có đường phân giác AD. Hạ BH, CK vuông góc với AD.

a) Chứng minh: tam giác BHD đồng dạng với tam giác CKD

b) Chứng minh: AB.AK=AC.AH

c) Chứng minh:\(\frac{DH}{DK}=\frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AC}\)

d) Qua trung điểm M của cạnh BC kẻ đường thẳng song song với AD và cắt cạnh AC tại E, cắt tia BA tại F. Chứng minh: BF = CE

Answer 1

[Pham Van Hung]

a, \(BH\perp AD\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{BHA}=\widehat{BHD}=90^0\)

\(CK\perp AD\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{AKC}=90^0\)

Xét \(\Delta BHD\)và \(\Delta CKD\) có: 

                         \(\widehat{BHD}=\widehat{CKD}=90^0\)

                          \(\widehat{BDH}=\widehat{CDK}\) (đối đỉnh)

Do đó: \(\Delta BHD\infty\Delta CKD\left(g.g\right)\)

b, Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACK\) có:

                     \(\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\) (vì AD là tia p/g của góc BAC)

                       \(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0\)

Do đó: \(\Delta ABH\infty\Delta ACK\left(g.g\right)\)

Suy ra: \(\frac{AB}{AH}=\frac{AC}{AK}\) hay  \(AB.AK=AC.AH\)

C, \(\Delta ABH\infty\Delta ACK\left(cmt\right)\Rightarrow\frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AC}\left(1\right)\) 

\(\Delta BHD=\Delta CKD\left(cmt\right)\Rightarrow\frac{DH}{DK}=\frac{BH}{CK}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2), ta được: \(\frac{DH}{DK}=\frac{BH}{CK}=\frac{AB}{AC}\)

d, Gọi giao điểm giữa FM và BH là O và giao điểm giữa FM và CK là I.

Bạn chứng minh được tam giác BOF tại O và tam giác CIE vuông tại I

\(\Delta BOM=\Delta CIM\left(ch.gn\right)\Rightarrow BO=CI\)(2 cạnh tương ứng)

\(AD//FM\left(gt\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{BAD}=\widehat{F}\\\widehat{DAC}=\widehat{IEC}\end{cases}}\)(đồng vị)

Suy ra: \(\widehat{F}=\widehat{IEC}\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\widehat{F}+\widehat{FBO}=90^0\\\widehat{IEC}+\widehat{ICE}=90^0\end{cases}}\)

Nên \(\widehat{FBO}=\widehat{ICE}\)

Chứng minh được \(\Delta FBO=\Delta ECI\left(g.c.g\right)\Rightarrow BF=CE\)(2 cạnh tương ứng)

Chúc bạn học tốt.