Question

[Phú Hoàng Minh]

Cho tam giác ABC (AB<12). Kẻ phân giác AL. Từ trung điểm M của BC. Kẻ đường vuông góc với AL đường này cắt AC ở E, cắt AB ở D.

a) Chứng minh AD = AE

b) Kẻ BB' song song ED. Chứng minh B'e = EC = BD

c) Chứng minh 2AD = AC + AD

d) Tính góc BMD theo góc B và góc C.

Answer 1

[Đạt Nguyễn]

Chứng minh câu a và câu b

Gọi H là giao điểm của DE và AL.

Ta có : DE vuông góc AL tại H (giả thiết) => góc H₁ = góc H₂ = 90 độ

Xét tam giác ADH và tam giác AEH có : 

AH là cạnh chung ; góc H₁ = H₂ = 90 độ (cmt) ; góc A₁ = A₂ (tia AL là phân giác của góc A)

=> tam giác ADH = tam giác AEH (g.c.g) => AD = AE (đpcm) ; HD = HE; góc D = góc E₁

Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng BB' và AL.

Ta có : BB' // DE (giả thiết). Mà DE vuông góc AL tại H (giả thiết) => BB' vuông góc AL tại T => góc T₁ = T₂ = 90 độ.

Xét tam giác ABT và tam giác AB'T có :

góc A₁ = A₂ (tia AL là phân giác của góc A) ; AT là cạnh chung ; góc T₁ = T₂ = 90 độ.

=> tam giác ABT = tam giác AB'T (g.c.g) => AB = AB' (2 cạnh tương ứng)

Ta có: BD = AD - AB = AE - AB' = B'E (1) (do AD = AE và AB = AB' - chứng minh trên)

Trên đoạn thẳng DE lấy điểm V sao cho BV // AC .

Xét tam giác BVB' và tam giác EB'V có: 

góc V₁ = B'₂ (so le trong do BV // AC);  B'V là cạnh chung; góc V₂ = B'₃ (so le trong do BB' // DE)

=> tam giác BVB' = tam giác EB'V (g.c.g) => BV = B'E (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét tam giác BMV và tam giác CME có : 

góc M₁ = M₂ (đối đỉnh); MB = MC (M là trung điểm BC); góc B₂ = góc C (so le trong do BV // AC)

=> tam giác BMV = tam giác CME (g.c.g) => CE = BV (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1) và (2) và (3) => BD = B'E = BV = CE (đpcm)