Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c) Bổ đề: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Khi đó \(AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).
Thật vậy, dựng hình chữ nhật AHCE. Lấy F đối xứng với C qua AF.
Ta có \(AH=CE=\dfrac{CF}{2}\).
Do đó \(CF^2+CB^2=BF^2\le\left(AB+AF\right)^2=\left(AB+AC\right)^2\Rightarrow CF^2\le\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)\Rightarrow AH^2\le\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}\).
Bổ đề được cm.
Áp dụng ta có \(\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{AA'^2+BB'^2+CC'^2}\ge\dfrac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{\dfrac{\left(AB+AC-CB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+BA-AC\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}+\dfrac{\left(BC+AC-AB\right)\left(AC+AB+BC\right)}{4}}=4\).
Vậy ta có đpcm.
a) Ta có \(\dfrac{HA'}{AA'}=\dfrac{HA'.BC}{AA'.BC}=\dfrac{2S_{HBC}}{2S_{ABC}}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\).
Tương tự \(\dfrac{HB'}{BB'}=\dfrac{S_{HCA}}{S_{ABC}};\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\).
Do đó \(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HCA}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=1\).
a) \(\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HA'.BC}{\dfrac{1}{2}.AA'.BC}=\dfrac{HA'}{AA'}\)
Tương tự: \(\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{HC'}{CC'};\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\dfrac{HB'}{BB'}\)
\(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{HAB}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
b) Áp dụng tính chất đường phân giác vào các tam giác: ADC; ABI; AIC, ta có:
\(\dfrac{BI}{IC}=\dfrac{AB}{AC};\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AI}{BI};\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{IC}{AI}\)
\(\dfrac{BI}{IC}.\)\(\dfrac{AN}{AB}.\)\(\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{AB}{AC}.\)\(\dfrac{AI}{BI}.\)\(\dfrac{IC}{AI}=\dfrac{AB}{AC}.\)\(\dfrac{IC}{BI}\)
\(\Rightarrow BI.AN.CM=BN.IC.AM\)
Lời giải:
Ta thấy:
\(\left\{\begin{matrix} S_{HBC}=\frac{HA'.BC}{2}\\ S_{ABC}=\frac{AA'.BC}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{S_{HBC}}{S_{ABC}}=\frac{HA'}{AA'}(*)\)
\(\left\{\begin{matrix} S_{HAC}=\frac{HB'.AC}{2}\\ S_{ABC}=\frac{BB'.AC}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\frac{HB'}{BB'}(**)\)
\(\left\{\begin{matrix} S_{HAB}=\frac{HC'.AB}{2}\\ S_{ABC}=\frac{CC'.AB}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{HC'}{CC'}(***)\)
Từ \((*); (**); (***)\Rightarrow \frac{HA'}{AA'}+\frac{HB'}{BB'}+\frac{HC'}{CC'}=\frac{S_{HBC}+S_{HCA}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Ta có : \(\dfrac{HA'}{AA'}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}\)( Vì có chung đáy BC nên tỉ số hai đường cao cũng bằng tỉ số hai diện tích) ( * )
Tương tự , ta cũng có :
\(\dfrac{HB'}{BB'}=\dfrac{S_{HCA}}{S_{ABC}}\) (**)
\(\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\) (***)
Từ : ( * ; ** ; ***) =>\(\dfrac{HA'}{AA'}+\dfrac{HB'}{BB'}+\dfrac{HC'}{CC'}=\dfrac{S_{HAC}+S_{HAB}+S_{HBC}}{S_{ABC}}\)
\(=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\left(đpcm\right)\)
aa',bb',cc' chắc là đường cao à bạn
mình nhầm xíu mình chỉnh rồi đó bạn giúp mình với