Question

[Nguyễn Yến Vy]

Cho phương trình: ax² + bx + c = 0 (a,b,c khác 0) có hai nghiệm dương x₁, x₂. Chứng minh rằng phương trình bậc hai cx² + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương x₃, x₄. Suy ra x₁ + x₂ + x₃ + x₄ \(\ge\) 4

Answer 1

[Kuro Kazuya]

\(ax^2+bx+c=0\)

Do phương trình có 2 nghiệm dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{-b}{a}>0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{b}{a}< 0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\b,a\left(trái.dấu\right)\\c,a\left(cùng.dấu\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b,c\) trái đấu

Xét \(cx^2+bx+a=0\)

Giả sử phương trình có 2 nghiệm dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\P>0\\S>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{c}{a}>0\\\dfrac{-b}{c}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac>0\\\dfrac{c}{a}>0\\\dfrac{b}{c}< 0\end{matrix}\right.\) ( 1 )

Do b , c trái dấu nên ( 1 ) luôn đúng vậy pt \(cx^2+bx+a=0\) luôn có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Rightarrow\) đpcm

Xét pt \(ax^2+bx+c=0\) \(\forall\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}>0\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)( 1 )

Xét pt \(cx^2+bx+a=0\) \(\forall\left\{{}\begin{matrix}x_3>0\\x_4>0\end{matrix}\right.\)

Theo định lý Viet

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S=x_3+x_4=\dfrac{-b}{c}>0\\P=x_3x_4=\dfrac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho 4 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}\)

\(\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{\dfrac{c}{a}.\dfrac{a}{c}}=4\) ( đpcm )