Question

[tnt]

Cho p là số nguyên tố thỏa mãn \(\dfrac{p+1}{2}\) và \(\dfrac{p^2+1}{2}\) đều là số chính phương. Chứng minh \(p^2\)-1 ⋮ 48

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Với \(p=2\) không thỏa mãn, xét với \(p>2\):

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{p+1}{2}=m^2\\\dfrac{p^2+1}{2}=n^2\end{matrix}\right.\) với m; n là các số nguyên dương và \(n>m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}p=2m^2-1\\p^2=2n^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow p^2-p=2n^2-2m^2\)

\(\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(n-m\right)\left(n+m\right)\) (1)

Nếu \(p\le n\Rightarrow n^2+1\ge p^2+1=2n^2\Rightarrow n^2\le1\Rightarrow n=1\Rightarrow p=1\) (ktm)

\(\Rightarrow p>n>m\)

\(\Rightarrow n-m< p\) và \(n+m< 2p\) (2)

Từ (1) \(\Rightarrow2\left(n-m\right)\left(n+m\right)⋮p\), mà \(\left\{{}\begin{matrix}2⋮̸p\\n-m⋮̸p\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow n+m⋮p\) (3)

(2);(3) \(\Rightarrow n+m=p\)

Thay vào \(p^2+1=2n^2=2\left(p-m\right)^2\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+2m^2-1=0\)

\(\Rightarrow p^2-4mp+p=0\) (do \(2m^2-1=p\))

\(\Rightarrow p-4m+1=0\)

\(\Rightarrow2m^2-4m=0\) (do \(p+1=2m^2\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow p=2m^2-1=7\)

\(\Rightarrow p^2-1=49-1=48⋮48\)