Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1a.\)
Ta có: \(n^4+4=\left(n^2\right)^2+4n^2+4-4n^2=\left(n^2+2\right)^2-\left(2n\right)^2=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)
Vì \(n^2+2n+2>n^2-2n+2\) với mọi \(n\in N\)
nên để \(n^4+4\) là số nguyên tố thì \(n^2-2n+2=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(n-1\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow\) \(n-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(n=1\)
Vậy, với \(n=1\) thì \(n^4+4\) là số nguyên tố
Ta có : S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + k(k + 1)(k + 2)
=> 4S = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + .... + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
= k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
= (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2)
Nên :4S + 1 = (k2 + 3k)(k2 + 3k + 2) + 1
Đặt k2 + 3k = t
Ta có : 4S + 1 = t(t + 2) + 1
= t2 + 2t + 1
= (t + 1)2
Vì k thuộc N nên : k2 + 3k thuôc N <=> t + 1 = k2 + 3k + 1 thuôc N
Vậy 4S + 1 là bình phương của 1 số tự nhiên
Ta có : C = |x-2016|+|x-2015|
=> C = |2016-x|+|x-2015|
Áp dụng công thức : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)(Với a;b \(\in Z\))
\(\Rightarrow C\ge\left|2016-x+x-2015\right|=1\)
Vậy dấu "=" xảy ra khi :
\(\orbr{\begin{cases}x\le2016\\x\ge2015\end{cases}}\Rightarrow x=\hept{\begin{cases}2016\\2015\end{cases}}\)
Vậy với x = 2016 hoặc x = 2015 thì C đạt GTNN = 1
Ta có :
\(S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right).4\)
\(4S=1.2.3.\left(4-0\right)+2.3.4\left(5-1\right)+3.4.5\left(6-2\right)+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+1-k-1\right)\)
\(4S=1.2.3.4-1.2.3.0+2.3.4.5-2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)-\)
\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(4S=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
\(\Rightarrow\)\(4S+1=\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+1\)
Lại có tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương ( muốn chứng minh thì mình chứng minh luôn )
Vậy \(4S+1\) là bình phương của một số tự nhiên
Chúc bạn học tốt ~
S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+k(k+1)(k+2)
=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+k(k+1)(k+2).4
<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5(6-2)+...+k(k+1)(k+2)[(k+3)-(k-1)]
<=> 4S=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1).k(k+1)(k+2)(k+3)
=> 4S=k(k+1)(k+2)(k+3)
=> 4S+1=k(k+1)(k+2)(k+3)+1 = k(k+3)(k+1)(k+2)+1 = (k2+3k)(k2+3k+2)+1
Đặt: n=k2+3k
=> 4S+1 = n(n+2)+1 = n2+2n+1 = (n+1)2.
=> 4S+1 = (k2+3k+1)2.
=> (4S+1) là bình phương của 1 số tự nhiên có giá trị là: (k2+3k+1)
Ví dụ: k=5 thì 4S+1=(25+15+1)2=412
Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) = 41 k(k+1)(k+2).4
= 41 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
= 41 k(k+1)(k+2)(k+3) - 41 k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒S =41.1.2.3.4 -41.0.1.2.3 + 41.2.3.4.5 -41.1.2.3.4 +…+41 k(k+1)(k+2)(k+3) -41 k(k+1)(k+2)(k-1)
= 41 k(k+1)(k+2)(k+3)4S + 1
= k(k+1)(k+2)(k+3) + 1Theo kết quả bài 2
⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính phương.
\(N=1.2.3+2.3.4+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(4N=1.2.3.4+2.3.4.4+...+4n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(4N=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+....+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\)
\(4N=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(4N=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
\(4N+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+2n+n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n+1-1\right)\left(n^2+3n+1+1\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n+1\right)^2-1+1=\left(n^2+3n+1\right)^2=t^2\)(1 số bất kì thỏa mãn)
Vậy \(4N+1\) là số chính phương (đpcm)
Với \(k\in N;k>0\) Ta có :
\(\frac{1}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(k+2\right)-k}{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k\left(k+1\right)}-\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\right)\)
Áp dụng ta có :
\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+.....+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{2}.\frac{n\left(n+1\right)-2}{2n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{4n\left(n+1\right)}\)(đpcm)
Ta có :
\(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{4n\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{2\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{4n\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right)}{2n\left(n+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2-n+2n-2}{2n^2+2n}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}-\frac{2}{2n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+n-2}{2n^2+2n}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n^2+n-2}{2n^2+2n}=\frac{n^2+n-2}{2n^2+2n}\) với \(n\ge2\)
Vậy ...
B=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)
={1.2.3.(4-0)+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]} : 4
= [1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+...+n(n+1)(n+2)(n+3) - 1.2.3.4 - 2.3.4.5 - 3.4.5.6 - ... - n(n+1)(n+2)(n-1)] : 4
=\(\frac{\text{ n(n+1)(n+2)(n+3) }}{4}\)
\(B=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(B=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(B=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)\)
\(B=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
Với \(n=1\Rightarrow P=6\)
\(n=2\Rightarrow P=30\)
Tất cả đều ko phải số chính phương