Question

[Lâm Trúc Mai]

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến ,.Ax By . Lấy điểm M bất kỳ thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Kẻ  MH vuông góc AB tại H

a) Tính MH biết \(AH=3cm,HB=5cm\)

b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt ,Ax By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M, I ,H thẳng hàng

c) Vẽ đường tròn tâm \(\left(O'\right)\)nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc với AB ở K. Chứng minh diện tích \(S_{AMB}=AK.KB\)

Answer 1

[Kudo Shinichi]

a) Tam giác AMC vuông tại M có MH là đường cao 

\(\Rightarrow MH=\sqrt{AH.BH}\)( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
\(\Rightarrow MH=\sqrt{15}\left(cm\right)\)

b) Vì AC song song với BD nên ta có : \(\frac{AC}{BD}=\frac{AI}{ID}=\frac{CM}{MD}\)( vì \(AC=CM;BD=MD\))

\(\Rightarrow MI//AC\)mà \(MH//AC\) ( cùng vuông góc với AB )
 

Suy ra \(M,I,H\)thẳng hàng

c ) Đặt \(AB=a,AM=c,BM=b\)

Ta có:

\(AK=\frac{a+c-b}{2};BK=\frac{a+b-c}{2}\)

\(\Rightarrow AK.BK=\frac{a+c-b}{2}.\frac{a+b-c}{2}=\frac{1}{2}.\left[\frac{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{2}\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2-\left(b-c\right)^2}{2}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{a^2-\left(b^2+c^2\right)+2bc}{2}\right]\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{2bc}{2}=\frac{1}{2}.bc=\frac{1}{2}AM.MB=S_{AMB}\)

Vậy \(S_{AMB}=AK.KB\)

Chúc bạn học tốt !!!