Question

[The Moon]

Cho nửa đường tròn (O) đk AB và 1 điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là 1 điểm trên đk AB, qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC ở F, cắt AC ở E. Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở C cắt EF tại I. Chứng minh:

a. I là trung điểm của EF

b. Đường thẳng OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF.

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Minh]

\(a,\widehat{ACB}=90^0\left(\text{góc nt chắn nửa đg tròn}\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FCI}+\widehat{ICE}=90^0\\\widehat{ICE}+\widehat{ACO}=\widehat{ICO}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{FCI}=\widehat{ACO}\\ OA=OC\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{CAO}\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{CBA}+\widehat{IFC}=90^0\\\widehat{CBA}+\widehat{CAO}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{IFC}=\widehat{CAO}=\widehat{ACO}\\ \Rightarrow\widehat{FCI}=\widehat{IFC}\Rightarrow IF=IC\left(1\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{FCI}+\widehat{ICE}=90^0\\\widehat{IFC}+\widehat{IEC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{ICE}=\widehat{IEC}\Rightarrow IE=IC\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow IF=IE\left(đpcm\right)\)

\(b,IE=IF=IC\left(cm\text{ trên}\right)\\ \Rightarrow I\text{ là tâm đường tròn ngoại tiếp }\Delta ECF\\ \text{Mà }OC\perp CI\Rightarrow OC\text{ là tt đtnt }\Delta ECF\)