Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vì n là số nguyên tố và n >2 nên n chỉ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2
TH1: với n có dạng 3k+1 thì ta được
\(2^{n-1}=2^{3k+1-1}=2^{3k}=6^k\) mà \(6^k\) chia hết cho 2 ; 3 ; 6
\(\Rightarrow2^{n-1}\) là số chính phương (1)
TH2: với n có dạng 3k+2 thì ta được:
\(2^{3k+2+1}=2^{3k+3}=2^{3.\left(k+1\right)}=\left(2^3\right)^{2k+1}=8^{2k+1}\)
Mà \(8^{2k+1}\) chia hết cho 2: 4: 8
\(\Rightarrow2^{n+1}\) là số chính phương (2)
Từ (1) và (2) ta thấy \(2^{n-1}\) và \(2^{n+1}\) không thể đồng thời là số nguyên tố với n >2
Ta có
n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 – 4n2
= (n2 + 2 )2 – (2n)2
= (n2 + 2 – 2n )(n2 + 2 + 2n)
Vì n4 + 4 là số nguyên tố nên n2 + 2 – 2n = 1 hoặc n2 + 2 + 2n = 1
Mà n2 + 2 + 2n > 1 vậy n2 + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1
Thử lại : n = 1 thì 14 + 4 = 5 là số nguyên tố
Vậy với n = 1 thì n4 + 4 là số nguyên tố.
2) Vì p là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp sau:
a) Với p = 2 thì p + 10 = 2 + 10 = 12 là hợp số (loại), tương tự với p + 20 cũng là hợp số.
Với p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố (nhận); p + 20 = 3 + 20 = 23 là số nguyên tố (nhận)
Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p có dạng 3k + 1; 3k + 2
Với p = 3k + 1 => p + 10 = 3k + 1 + 10 = 3k + 11
b, Nếu p= 2 thì p+2= 2+2=4 chia hết cho 2 →là hợp số ( loại )
Nếu p= 3 thì p+6= 3+6=9 chia hết cho 3 →là hợp số ( loại )
Nếu p= 4 thì p+18= 4+18=22 chia hết cho 22 →là hợp số ( loại )
Nếu p=5 thì \(\left[\begin{array}{nghiempt}p+2=5+2=7\\p+6=5+6=11\\p+18=5+18=23\end{array}\right.\) ↔ Là số nguyên tố
Vì p có 2 giá trị cần tìm nên ta tiếp tục tìm kiếm nha bn
Nếu p=6 thì p+2= 6+2 =8 chia hết cho 2 →là hợp số ( loại )
Nếu p=7 thì p+2=7+2=9 chia hết cho 3 →là hợp số ( loại )
Nếu p=8 thì p+2= 8+2=10 chia hết cho2 →là hợp số ( loại )
Nếu p=9 thì p+6=9+6=15 chia hết cho 5 →là hợp số ( loại )
Nếu p=10thì p+6=10+6=16 chia hết cho 2 →là hợp số ( loại )
Nếu p=11 thì \(\left[\begin{array}{nghiempt}p+2=11+2=13\\p+6=11+6=17\\p+18=11+18=29\end{array}\right.\) → là SNT
Vậy có 2 giá trị p= 5 và p= 11
+ Nếu p=2 thì p+10 = 2+10 = 12 chia hết cho 2 →là hợp số (loại)
+ Nếu p=3 thì p+10= 3+ 10 =13 → là số nguyên tố
......................p+14 = 3+14=17 → là số nguyên tố
** Nếu p > 3 thì p sẽ có dạng 3k + 1 và 3k+2
* Nếu p= 3k+1 thì p+14= 3k+1+14=3k+15 chia hết cho 3→là hợp số (loại)
Nếu p= 3k+2 thì p+10= 3k+2+10=3k+12 chia hết cho 3 →là hợp số (loại)
Vậy có 1 và chỉ cí 1 giá trị p=3
Ta có: n = 2.3.5.7.11.13. ...
Dễ thấy n chia hết cho 2 và không chia hết cho 4.
-) Giả sử n+1 = a2, ta sẽ chứng minh điều này là không thể.
Vì n chẵn nên n+1 lẻ mà n+1= a2 nên a lẻ, giả sử a=2k+1, khi đó:
n+1=(2k+1)2 <=>n+1=4k2+4k+1 <=>n=4k2+4 chia hết cho 4, điều này không thể vì n không chi hết cho 4.
Vậy n+1 không chính phương.
-) Dễ thấy n chia hết cho 3 nên n-1 chia cho 3 sẽ dư 2 tức n=3k+2, điều này vô lý vì số chính phương có dạng 3k hoặc 3k+1.
Vậy n-1 không chính phương
(Hình như bài này của lớp 8 nha)