Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MGJ}=\widehat{B}\left(\text{đồng vị}\right)\\\widehat{MJG}=\widehat{C}\left(\text{đồng vị}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta MGJ\sim\Delta ABC\) theo tỉ số \(k_1=\dfrac{GJ}{BC}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}.k_1^2=S_{MGJ}\Rightarrow k_1=\sqrt{\dfrac{S_{MGJ}}{S_{ABC}}}=\dfrac{GJ}{BC}\) (1)
Tương tự: \(\dfrac{DM}{BC}=\sqrt{\dfrac{S_{IDM}}{S_{ABC}}}\), mà BDMG là hbh (2 cặp cạnh đối song song)
\(\Rightarrow DM=BG\Rightarrow\dfrac{BG}{BC}=\sqrt{\dfrac{S_{IDM}}{S_{ABC}}}\) (2)
Tương tự: \(\dfrac{CJ}{BC}=\sqrt{\dfrac{S_{FME}}{S_{ABC}}}\) (3)
Cộng vế (1);(2);(3) \(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{S_{MGJ}}{S_{ABC}}}+\sqrt{\dfrac{S_{IDM}}{S_{ABC}}}+\sqrt{\dfrac{S_{FME}}{S_{ABC}}}=\dfrac{BG+GJ+JC}{BC}=1\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\left(\sqrt{S_{MGJ}}+\sqrt{S_{IDM}}+\sqrt{S_{FME}}\right)^2\le3\left(S_{MGJ}+S_{IDM}+S_{FME}\right)\)
Mà \(S_{MGJ}+S_{IDM}+S_{FME}=S_{ABC}-\left(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABC}\le3\left[S_{ABC}-\left(S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\right)\right]\)
\(\Rightarrow S_{AIMF}+S_{BGMD}+S_{CEMJ}\le\dfrac{2}{3}S_{ABC}\)
ID cắt EF tại G. cần chứng minh A,G,M thẳng hàng
Ta có : AG cắt BC tại M'. đường thẳng qua G song song với BC cắt AB,AC tại S,T
Dễ thấy \(ID\perp BC\)\(\Rightarrow IG\perp ST\)
Tứ giác FSGI nội tiếp, tứ giác IGET nội tiếp \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{IFG}=\widehat{ISG}\\\widehat{ITG}=\widehat{IEG}\end{cases}\Rightarrow\widehat{ISG}=\widehat{ITG}}\)( Vì \(\widehat{IFG}=\widehat{IEG}\))
\(\Rightarrow\Delta IST\)cân tại I có \(IG\perp ST\)nên GS = GT
Xét hình thang STCB có BS,M'G,CT cắt nhau tại A và G là trung điểm của ST nên M' là trung điểm của BC
\(\Rightarrow M'\equiv M\)hay A,G,M thẳng hàng
AM cắt KI tại H
Dễ thấy \(AI\perp EF\)nên \(KG\perp AI\)
\(\Delta AIK\)có \(IG\perp AK;KG\perp AI\)nên G là trực tâm \(\Rightarrow AG\perp KI\)tại H
AI cắt EF tại N
Tứ giác ANHK nội tiếp \(\Rightarrow IH.IK=IN.IA=IF^2=ID^2\Rightarrow\frac{IH}{ID}=\frac{ID}{IK}\)
\(\Rightarrow\Delta IDH\approx\Delta IKD\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{IDH}=\widehat{IKD}\)( 1 )
Tứ giác IHMD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{IDH}=\widehat{IMH}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{IKD}=\widehat{IMH}\)
Mà \(\widehat{IMH}+\widehat{MIH}=90^o\)suy ra \(\widehat{IKD}+\widehat{MIH}=90^o\)
\(\Rightarrow MI\perp DK\)
