Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần chứng minh tam giác MNP là tam giác cân và có một góc bằng \(\frac{\Pi}{3}\)
Giả sử lục giacs có hướng âm, kí hiệu \(f\) là phép quay vec tơ theo góc \(-\frac{\Pi}{3}\) và M, N. P theo thứ tự là trung điểm FA, BC, DE
Khi đó AB=BO, CD=DO=OC, EF=FO=OE nên các tam giác ABO, CDO, EFO đều và có hướng âm
Suy ra \(f\left(\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AO}\), \(f\left(\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{OD}\), \(f\left(\overrightarrow{FO}\right)=\overrightarrow{FE}\)
Từ đó ta có :
\(f\left(\overrightarrow{MN}\right)=f\left(\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FC}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\overrightarrow{AB}\right)+f\left(\overrightarrow{FC}\right)\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AO}\right)+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{FE}\right)\)
\(=\overrightarrow{MP}\)
Suy ra tam giác MNP cân và có góc PMN = \(\frac{\Pi}{3}\) => Điều phải chứng minh
Gọi I là trung điểm của CD.
Vì G 1 là trọng tâm của tam giác ACD nên G 1 ∈ A I
Vì G 2 là trọng tâm của tam giác BCD nên G 2 ∈ B I
Ta có :
A B ⊂ ( A B C ) ⇒ G 1 G 2 / / ( A B C )
Và A B ⊂ ( A B D ) ⇒ G 1 G 2 / / ( A B D )
Cần chứng minh
\(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{E_1D_1}\), \(_{ }\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{F_1E_1}\), \(\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{A_1F_1}\)
Ta có :
\(\overrightarrow{OA_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\) ; \(\overrightarrow{OD_1}=\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}}{3}\)
\(\overrightarrow{OB_1}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{3}\) ; \(\overrightarrow{OE_1}=\frac{\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OA}}{3}\)
Từ đó suy ra :
\(\overrightarrow{A_1B_1}+\overrightarrow{OD_1}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}}{3}=\overrightarrow{0B_1}+\overrightarrow{OE_1}\)
và do đó
\(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{E_1D_1}\)
Tương tự ta cũng có \(\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{F_1E_1}\) ,\(\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{A_1F_1}\) => Điều phải chứng minh