Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gt ⇒ \(2\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)
Do G là trọng tâm của ΔABC
⇒ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)
⇒ VT = 6MG
I là trung điểm của BC
⇒ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)
⇒ VP = 6MI
Khi VT = VP thì MG = MI
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn ycbt là đường trung trực của đoạn thẳng IG
a.
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}\)
b.
\(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{EM}=3\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{AM}\Rightarrow4\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AM}\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{8}{5}\overrightarrow{BE}\)
\(\Rightarrow\) B, E, K thẳng hàng
Gọi N là trung điểm BC
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)
\(\Leftrightarrow4\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{BD}\right|=4\left|\overrightarrow{MN}\right|=4\left|\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{MD}\right|\ge4MD-4DN\)
\(\Rightarrow4MD\le BD+4DN\)
\(\Leftrightarrow MD\le\dfrac{BD+4DN}{4}=\dfrac{a\sqrt{2}+2a\sqrt{5}}{4}=\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{4}a\)
1.
Gọi G là trọng tâm tam giác
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow O\equiv G\)
\(\Rightarrow O\) là trọng tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow\Delta ABC\) đều
Gọi độ dài các cạnh tam giác là a
\(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{1}{4}a^2-\dfrac{1}{8}a^2-\dfrac{1}{8}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=0\)
Mặt khác \(\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AM}=BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)\)
\(\Rightarrow BN.AM.cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=0\Rightarrow\left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BN}\right)=90^o\)
\(BD=\dfrac{AB}{cos45^o}=\dfrac{a}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=a\sqrt{2}\)
\(\overrightarrow{BQ}.\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}BA.BC.cos90^o+\dfrac{1}{4}BA.BD.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD.BC.cos45^o+\dfrac{1}{4}BD^2\)
\(=\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{4}a^2+\dfrac{1}{2}a^2=a^2\)
