Question

[Nelson Charles]

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích bằng S₁. Nói 4 trung điểm mỗi cạnh ta được hình vương với diện tích S₂. Cứ làm như thế khi có 20 hình. tính tống S=S₁+S₂....+S₂₀

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi cạnh của hình vuông có diện tích \(S_k\) là \(a_k\) thì \(a_{k+1}=\dfrac{a_k}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow S_{k+1}=\dfrac{1}{2}S_k\)

Do đó:

\(S=S_1+\dfrac{1}{2}S_1+...+\dfrac{1}{2^{19}}S_1\)

\(=a^2\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2^{19}}\right)=a^2\left(2-\dfrac{1}{2^{19}}\right)\)