Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Với hình lăng trụ đứng ABC.ABC, diện tích tứ giác ABBA bằng 2a^2 và đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, ABa. Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC có thể tính bằng công thức: \(V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao}\). Vì đáy ABC là tam giác vuông cân nên diện tích đáy là \(\frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2}a^2\). Chiều cao của lăng trụ chính là cạnh AB, vì tam giác ABa là tam giác vuông cân nên \(AB = \sqrt{2}a\). Do đó, thể tích khối lăng trụ ABC.ABC là: \(V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}a^2 \times \sqrt{2}a = \frac{\sqrt{2}}{6}a^3\). b) Với hình lăng trụ đứng ABC.ABC, góc giữa (ABC) và (ABC) bằng 60°, ta cũng áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: \(V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao}\). Diện tích đáy và chiều cao đã được tính tương tự như phần a), ta có thể tính được thể tích khối lăng trụ ABC.ABC.
Chọn D
Diện tích đáy là B = S ∆ A B C = a 2 3 4 .
Chiều cao là h = d((ABC); (A'B'C')) = AA'
Do tam giác ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên A'I ta có:
Xét tam giác A'AI vuông tại A ta có:
Phương pháp:
Thể tích khối lăng trụ: V = Sh
Cách giải:
Gọi I là trung điểm của BC, kẻ AH ⊥ A'I
∆
ABC đều cạnh a 
Ta có:
Ta có: 
Mà 
Chọn: A
Chọn D
Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên A'M.
Ta có :
(do tính chất trọng tâm).
Xét tam giác vuông A'AM :
Suy ra thể tích lăng trụ ABC. A'B'C' là:
Từ I dựng IH AC
IH // AA'
lại có AA' (ABC) nên HI
(ABC) .
AC//A'B' CI/AI=AC/A'M=1/2
do đó IH/AA'=1/3
V(IABC)=1/3.IH.S(ABC)=1/3.2/3AA'.S(ABC)=2/9V(ABCA'B'C')=2/9.2a.1/2.a.2a=4/9a^3
BC AB và BC
AA'
BC A'B
A'B==
a
=arctan(A'B/BC)
IC/IA'=2/3 IC=2a
S(IBC)=BC.CI.1/2.sin(arctan(A'B/BC))
Từ đó d(A,IBC)=3.V(IBCA)/S(IBC)
Hạ \(IH\perp AC,\left(H\in AC\right)\Rightarrow IH\perp\left(ABC\right)\)
IH là đường cao của tứ diện IABC
Suy ra IH//AA' \(\Rightarrow\frac{IH}{AA'}=\frac{CI}{CA'}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow IH=\frac{2}{3}AA'=\frac{4a}{3}\)
\(AC=\sqrt{A'C-A'A^2}=a\sqrt{5;}BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2a\)
Diện tích tam gia ABC : \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=a^2\)
Vậy thể tích của khối tứ diện IABC : \(V=\frac{1}{3}IH.S_{\Delta ABC}=\frac{4a^3}{9}\)
Hạ \(AK\perp A'B\left(K\in A'B\right)\)
Vì \(BC\perp\left(ABB'A\right)\) nên \(AK\perp BC\) suy ra \(AK\perp\left(IBC\right)\)
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng )IBC) là AK
\(AK=\frac{2S_{\Delta AA'B}}{A'B}=\frac{AA'.AB}{\sqrt{AA'^2+AB^2}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}\)
Vì lăng trụ đứng ABC.A'B'C' nên A'A _|_ AC
Xét tam giác A'AC có góc A'AC là góc vuông :
Áp dụng định lý Pytago :
A'C² = A'A² + AC²
<=> AC² = A'C² - A'A²
<=> AC² = (3a)² - (2a)²
<=> AC² = 9a² - 4a²
<=> AC² = 5a²
<=> AC = a√5
Xét tam giác ABC vuông tại B :
Áp dụng định lý Pytago :
AC² = AB² + BC²
<=> BC² = AC² - AB²
<=> BC² = 5a² - a²
<=> BC² = 4a²
<=> BC = 2a
S ABC = (AB.BC)/2 = (a.2a)/2 = a²
Từ I hạ đường IH vuông góc AC , gọi M' là trung điểm của AC ; Gọi I' là giao điểm của M'C' với A'C
Xét tứ giác MC'M'A :
* Có MC' // AM' ( Do A'C' // AC của hình chữ nhật A'C'CA )
* Có MC' = AM' ( Do A'C' = AC của hình chữ nhật A'C'CA )
=> MC'M'A là hình bình hành
=> AM // M'C'
Xét tam giác A'CI'
* M là trung điểm A'C'
* MI // C'I' ( Do AM // M'C' ( cmt ) )
=> I là trung điểm A'I' ( Tính chất đường trung bình )
=> A'I = II' (1)
Xét tam giác A'MI và I'CM'
* Có góc C'A'C = A'CA ( So le trong )
* A'M = M'C
* Có góc A'MA = góc C'M'C ( Do AM // M'C )
=> tam giác A'MI = tam giác I'CM' ( g - c - g )
=> I'C = A'I (2)
Từ (1) ; (2) = > A'I = II' = I'C
=> IC = 2a
Từ đó AH = AC/3 = a√5 / 3
Xét tam giác A'AC và tam giác IHC
* Chung góc C
* Góc A'AC = Góc IHC = 90°
=> Tam giác A'AC ~ Tam giác IHC ( g - g )
=> A'C / IC = AA' / IH
<=> IH = AA'.IC / A'C
<=> IH = 2a.2a / 3a = 4a/3
V IABC = 1/3.S ABC.IH = 1/3.a².4a/3 = 4a^3 / 9
b) Nối HB
Xét tam giác ABC vuông tai B
cosBAC = a/a√5 = 1/√5 = √5/5
Xét tam AHB ;
HB² = AH² + AB² - 2.AH.AB.cosBAC
<=> HB² = (a√5/3)² + a² - 2.(a√5/3).a.√5/5
<=> HB² = 8a²/9
<=> HB = 2a√2 / 3
Xét tam giác IHB vuông tại H
Áp dụng định lý Pytago :
IB² = IH² + HB²
<=> IB² = (4a/3)² + (2a√2/3)²
<=> IB² = 8a/3
<=> IB = 2a√6 / 3
Xét tam giác IBC có IB = 2a√6/3 ; IC = BC = 2a
Áp dụng công thức Hê-rộng :
p = (a + b + c)/2 = (2a√6/3 + 2a + 2a )/2 = a√6/3 + 2a = (6 + √6)a/3
S = √p(p - a)(p - b)(p - c)
S = √[(6 + √6)a(6 - √6)a.√6.a.√6.a ]/81
S = √[6(36 - 6)a^4 / 81]
S = √(180a^4 / 81)
S = √20a^4 / 9
S = 2a²√5 / 3
Từ đó d(A ; IBC ) = V IABC . 3 / S IBC = ( 4a^3 / 9 ).3 / (2a²√5 / 3 ) = 2a√5 / 5
Vì lăng trụ đứng ABC.A'B'C' nên A'A _|_ AC
Xét tam giác A'AC có góc A'AC là góc vuông :
Áp dụng định lý Pytago :
A'C² = A'A² + AC²
<=> AC² = A'C² - A'A²
<=> AC² = (3a)² - (2a)²
<=> AC² = 9a² - 4a²
<=> AC² = 5a²
<=> AC = a√5
Xét tam giác ABC vuông tại B :
Áp dụng định lý Pytago :
AC² = AB² + BC²
<=> BC² = AC² - AB²
<=> BC² = 5a² - a²
<=> BC² = 4a²
<=> BC = 2a
S ABC = (AB.BC)/2 = (a.2a)/2 = a²
Từ I hạ đường IH vuông góc AC , gọi M' là trung điểm của AC ; Gọi I' là giao điểm của M'C' với A'C
Xét tứ giác MC'M'A :
* Có MC' // AM' ( Do A'C' // AC của hình chữ nhật A'C'CA )
* Có MC' = AM' ( Do A'C' = AC của hình chữ nhật A'C'CA )
=> MC'M'A là hình bình hành
=> AM // M'C'
Xét tam giác A'CI'
* M là trung điểm A'C'
* MI // C'I' ( Do AM // M'C' ( cmt ) )
=> I là trung điểm A'I' ( Tính chất đường trung bình )
=> A'I = II' (1)
Xét tam giác A'MI và I'CM'
* Có góc C'A'C = A'CA ( So le trong )
* A'M = M'C
* Có góc A'MA = góc C'M'C ( Do AM // M'C )
=> tam giác A'MI = tam giác I'CM' ( g - c - g )
=> I'C = A'I (2)
Từ (1) ; (2) = > A'I = II' = I'C
=> IC = 2a
Từ đó AH = AC/3 = a√5 / 3
Xét tam giác A'AC và tam giác IHC
* Chung góc C
* Góc A'AC = Góc IHC = 90°
=> Tam giác A'AC ~ Tam giác IHC ( g - g )
=> A'C / IC = AA' / IH
<=> IH = AA'.IC / A'C
<=> IH = 2a.2a / 3a = 4a/3
V IABC = 1/3.S ABC.IH = 1/3.a².4a/3 = 4a^3 / 9
b) Nối HB
Xét tam giác ABC vuông tai B
cosBAC = a/a√5 = 1/√5 = √5/5
Xét tam AHB ;
HB² = AH² + AB² - 2.AH.AB.cosBAC
<=> HB² = (a√5/3)² + a² - 2.(a√5/3).a.√5/5
<=> HB² = 8a²/9
<=> HB = 2a√2 / 3
Xét tam giác IHB vuông tại H
Áp dụng định lý Pytago :
IB² = IH² + HB²
<=> IB² = (4a/3)² + (2a√2/3)²
<=> IB² = 8a/3
<=> IB = 2a√6 / 3
Xét tam giác IBC có IB = 2a√6/3 ; IC = BC = 2a
Áp dụng công thức Hê-rộng :
p = (a + b + c)/2 = (2a√6/3 + 2a + 2a )/2 = a√6/3 + 2a = (6 + √6)a/3
S = √p(p - a)(p - b)(p - c)
S = √[(6 + √6)a(6 - √6)a.√6.a.√6.a ]/81
S = √[6(36 - 6)a^4 / 81]
S = √(180a^4 / 81)
S = √20a^4 / 9
S = 2a²√5 / 3
Từ đó d(A ; IBC ) = V IABC . 3 / S IBC = ( 4a^3 / 9 ).3 / (2a²√5 / 3 ) = 2a√5 / 5
