Question

[Phạm Trúc Lâm]

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC. Trên AC, CD ta lấy các điểm M,N sao cho AM/AH = DN/DC. Chứng minh bốn điểm M,B,C,N nằm trên một đường tròn

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Kẽ NI // BC

\(\Rightarrow\frac{DN}{DC}=\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AH}\)

\(\Rightarrow\)MI // BH

\(\Rightarrow\widehat{IMB}=\widehat{MBH}\left(1\right)\)

Tứ giác IBCN có

\(\widehat{IBC}=\widehat{BIN}=\widehat{BCN}\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác IBCN là hình chữ nhật

\(\Rightarrow\widehat{NBC}=\widehat{BCI}\left(2\right)\)

Xét tứ giác IMCB có

\(\widehat{IMC}=90\)(vì IM // BH và BH vuông góc AC)\

\(\widehat{IBC}=90\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác IMCB là tứ giác nội tiếp đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{IMB}=\widehat{ICB}\left(3\right)\)(cùng chắn cung IB) 

Từ (1),(2),(3) \(\Rightarrow\widehat{MBH}=\widehat{NBC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BMC}=90-\widehat{MBH}=90-\widehat{NBC}=\widehat{CNB}\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác MBCN nội tiếp đường tròn 

Hay M,B,C,N cùng nằm trên một đường tròn

Answer 2

[Trần Bình Trọng]

giải thích kĩ hơn đi boy :))