Question

[Lucifer]

Cho hình chóp SABC có ABC=60 độ,AC=\(a\sqrt{3}\).Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,SA=2a.Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Gọi $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$, $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ABC$ thì $IK\parallel SA$.

Ta có:

\(IS=IA\Leftrightarrow (\overrightarrow{IS})^2=IA^2\)

\(\Leftrightarrow (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AS})^2=IA^2\)

\(\Leftrightarrow AS^2+2\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{AS}=0\)

\(\Leftrightarrow AS^2+2(\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KA})\overrightarrow{AS}=0\)

\(\Leftrightarrow AS^2+2\overrightarrow{IK}.\overrightarrow{AS}=0\)

Vì $\overrightarrow{IK}\parallel \overrightarrow{AS}$ nên tồn tại $k\in\mathbb{R}$ sao cho $\overrightarrow{IK}=k\overrightarrow{AS}$

Khi đó: $AS^2+2kAS^2=0$

$\Rightarrow k=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\frac{-1}{2}\overrightarrow{AS}$

$\Rightarrow IK=\frac{1}{2}.AS=a$

Lại có:

$\frac{AC}{\sin B}=2AK\Rightarrow AK=a$

Áp dụng định lý pitago: $R=IA=\sqrt{IK^2+AK^2}=\sqrt{2}a$

Thể tích khối cầu:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi a^3$