Question

[Phương Mai]

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC>DB, vẽ AM vuông góc với BC tại M, AN vuông góc với CD tại N

a) Chứng minh hình tam giác ABM đồng dạng với hình tam giác AND

b) Chứng minh: AB.MN=AC.AM

c) CB.CM + CN.CD = CA²

Answer 1

[Ngô Thành Chung]

a, Vì tứ giác ABCD là hình bình hành

⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\) (2 góc đối)

Mà \(\widehat{B_1}+\widehat{ABC}=180^0\) (kề bù)

\(\widehat{D_1}+\widehat{ADC}=180^0\) (kề bù)

⇒ \(\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\)

Vì AM ⊥ BC ⇒ \(\widehat{AMB}=90^0\)

AN ⊥ CD ⇒ \(\widehat{AND}=90^0\)

ΔABM và ΔADN có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMB}=\widehat{AND}=90^0\\\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔABM ~ ΔADN (g.g)(đpcm)

b,

+) Vì tứ giác ABCD là hình bình hành

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AD = BC}\\\text{AB // CD}\end{matrix}\right.\)

Vì ΔABM ~ ΔADN

⇒ \(\frac{AB}{AD}=\frac{AM}{AN}\)

mà AD = BC

⇒ \(\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{AN}\)

⇒ \(\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{AN}\)

+) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AN ⊥ CD}\\\text{AB // CD}\end{matrix}\right.\)

⇒ AN ⊥ AB

⇒ \(\widehat{BAN}=90^0\)

Vì \(\widehat{ABC}\) là góc ngoài tại đỉnh B của ΔABM

⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}+\widehat{AMB}\)

⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}+90^0\) (\(\widehat{AMB}=90^0\))(1)

Ta có \(\widehat{AMN}=\widehat{BAN}+\widehat{BAM}\)

⇒ \(\widehat{AMN}=\widehat{BAM}+90^0\) (\(\widehat{BAN}=90^0\))(2)

Từ (1), (2) ⇒ \(\widehat{ABC}=\widehat{MAN}\)

+) ΔABC và ΔMAN có

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{AN}\\\widehat{ABC}=\widehat{MAN}\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔABC ~ ΔMAN (c.g.c)

⇒ \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{MN}\)

⇒ AB . MN = AC . AM (đpcm)

c, KẺ THÊM:

KẺ DE ⊥ AC TẠI E

KẺ BK ⊥ AC TẠI K

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành

⇒ AD // BC

⇒ \(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) (so le trong)

Vì DE ⊥ AC ⇒ \(\widehat{AED}=\widehat{CED}=90^0\)

Vì BK ⊥ AC ⇒ \(\widehat{BKC}=90^0\)

ΔCED và ΔCNA có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C_2}\text{ chung}\\\widehat{CED}=\widehat{CNA}=90^0\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔCED ~ ΔCNA (g.g)

⇒ \(\frac{CE}{CN}=\frac{CD}{CA}\)

⇒ CN . CD = CE . CA (3)

ΔCBK và ΔCAM có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C_1}\text{ chung}\\\widehat{CKB}=\widehat{CMA}=90^0\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔCBK ~ ΔCAM (g.g)

⇒ \(\frac{CB}{CA}=\frac{CK}{CM}\)

⇒ CB . CM = CK . AC (4)

Từ (3), (4)

⇒ CB.CM + CN.CD = CE.AC + CK.AC

⇒ CB.CM + CN.CD = AC.(CE + CK) (5)

ΔADE và ΔCBK có

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AED}=\widehat{CKB}=90^0\\\text{AD = BC}\\\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\end{matrix}\right.\)

⇒ ΔADE = ΔCBK (ch.gn)(bằng nhau nha. Không phải đồng dạng đâu)

⇒ AE = CK (6)

Từ (5), (6)

⇒ CB.CM + CN.CD = AC.(CE + AE)

⇒ CB.CM + CN.CD = AC.AC

⇒ CB . CM + CN .CD = AC² (đpcm)

Hình mình để bên dưới nhé! Trình bày có chỗ hơi khó hiểu hoặc khó nhìn nhưng thông cảm nhé! Nhớ đọc kĩ và hết phần bài của mình nha !

Chúc bạn học tốt !!!!

Answer 2

[Phương Mai]

Cam ơn nhiều ạ !