Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Thay m=2 vào hệ phương trình, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\2x-y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3y=3\\x-2y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=5+2y=5+2\cdot\left(-1\right)=3\end{matrix}\right.\)
Vậy: Khi m=2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x,y)=(3;-1)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x-y=2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+mx=2+m\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\left(2m-1\right)=m+2\\mx+y=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=m-mx=m-m\cdot\dfrac{m+2}{2m-1}=m-\dfrac{m^2+2m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+2}{2m-1}\\y=\dfrac{2m^2-m-m^2-2m}{2m-1}=\dfrac{m^2-3m}{2m-1}\end{matrix}\right.\)
Để x+y>0 thì \(\dfrac{m+2}{2m-1}+\dfrac{m^2-3m}{2m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m+2+m^2-3m}{2m-1}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{m^2-2m+2}{2m-1}>0\)
mà \(m^2-2m+2>0\forall m\)
nên 2m-1>0
\(\Leftrightarrow2m>1\)
hay \(m>\dfrac{1}{2}\)
Vậy: Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x+y>0 thì \(m>\dfrac{1}{2}\)
\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)
Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)
\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)
\(\Leftrightarrow m=1\)
Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=m\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x=-1\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
- Với \(m=\pm1\Rightarrow0.x=-1\) hệ vô nghiệm
- Không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm
- Với \(m\ne\pm1\) hệ có nghiệm duy nhất
1. \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+m^2y=3m\\mx+4y=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(m^2-4\right)y=3\left(m-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)y=3\left(m-2\right)\)
Để pt có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)\ne0\Rightarrow m\ne\pm2\)
Để pt vô nghiệm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(m+2\right)=0\\3\left(m-2\right)\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-2\)
2. Không thấy m nào ở hệ?
3. Bạn tự giải câu a
b/ \(\left\{{}\begin{matrix}6x+2my=2m\\\left(m^2-m\right)x+2my=m^2-m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\frac{\left(m-1\right)\left(1-x\right)}{2}\\\left(m^2-m-6\right)x=m^2-3m\end{matrix}\right.\)
Để hệ có nghiệm duy nhất \(\Rightarrow m^2-m-6\ne0\Rightarrow m\ne\left\{-2;3\right\}\)
Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{m^2-3m}{m^2-m-6}=\frac{m}{m+2}\\y=\frac{\left(m-1\right)\left(1-x\right)}{2}=\frac{m-1}{m+2}\end{matrix}\right.\)
\(x+y^2=1\Leftrightarrow\frac{m}{m+2}+\frac{\left(m-1\right)^2}{\left(m+2\right)^2}=1\)
\(\Leftrightarrow m\left(m+2\right)+\left(m-1\right)^2=\left(m+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m-3=0\Rightarrow\) bấm máy, số xấu
4.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=2m^2\\x+my=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-1\right)x=2m^2-m-1=\left(2m+1\right)\left(m-1\right)\\y=2m-mx\end{matrix}\right.\)
- Với \(m=1\) hệ có vô số nghiệm
- Với \(m=-1\) hệ vô nghiệm
- Với \(m\ne\pm1\) hệ có nghiệm duy nhất:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{\left(2m+1\right)\left(m-1\right)}{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}=\frac{2m+1}{m+1}\\y=2m-mx=\frac{m}{m+1}\end{matrix}\right.\)
a/ Thay m=-1 vào hệ phương trình ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=2\\2x+y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=2\\4x+2y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}5x=0\\4x+2y=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-1\end{matrix}\right.\)Vậy khi m=-1 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;-1)
b/ Ta có:
ds\(\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=m+3\\2x+y=2m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2y+x=m+3\\4x+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}5x=5m+5\\4x+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\4\left(m+1\right)+2y=4m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=m+1\\y=-1\end{matrix}\right.\)Thay x=m+1 và y=-1 vào P= \(x^2+xy\) ta được:
P=\(\left(m+1\right)^2+\left(m+1\right).\left(-1\right)\)
=\(m^2+m\)
=\(m^2+m+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\)
=\(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
Ta luôn có: \(\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi m
\(\Rightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\) với mọi m
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy P=x2+xy đạt giá trị nhỏ nhất là \(-\dfrac{1}{4}\) khi m=\(-\dfrac{1}{2}\)
\(\text{Với }m\ne-1\\ HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+y=m^2+3\\y=x+4\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow mx+x+4=m^2+3\\ \Leftrightarrow x\left(m+1\right)=m^2-1\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{\left(m-1\right)\left(m+1\right)}{m+1}=m-1\\ \Leftrightarrow y=x+4=m+3\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(m-1;m+3\right)\left(đpcm\right)\)
\(\Leftrightarrow Q=x^2-2y+10\\ \Leftrightarrow Q=\left(m-1\right)^2-2\left(m+3\right)+10\\ \Leftrightarrow Q=m^2-2m+1-2m-6+10\\ \Leftrightarrow Q=m^2-4m+5=\left(m-2\right)^2+1\ge1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow m=2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=5\end{matrix}\right.\)
Vậy \(Q_{min}=1\)
2)
\(\left\{{}\begin{matrix}2y-x=m+1\\2x-y=m-2\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-x=m+1\\4x-2y=2m-4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=3m-3\\2y-x=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\2y-m+1=m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\2y=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m\end{matrix}\right.\)
\(P=x^2+y^2=\left(m-1\right)^2+m^2\)
\(=2m^2-2m+1\\=2\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}+1\\ =2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall m\in R\)
Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\) dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)