Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(2x+a\right)=a+2\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(x^2+2ax+a+b\right)=3a+b+1\)
Hàm liên tục tại \(x=1\Leftrightarrow a+2=3a+b+1\Leftrightarrow2a+b=1\)
\(y'\left(1^+\right)=2\)
\(y'\left(1^-\right)=\left(2x+2a\right)_{x=1^-}=2a+2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=1\\2a+2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=1\end{matrix}\right.\)
Hàm có đạo hàm tại \(x=0\) khi nó liên tục tại \(x=0\) và có đạo hàm trái bằng đạo hàm phải tại 0
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(-x^3+bx+c\right)=c\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}x^2=0\)
\(\Rightarrow c=0\)
\(f'\left(0^-\right)=2x_{x\rightarrow0^-}=0\)
\(f'\left(0^+\right)=\left(-3x^2+b\right)_{x\rightarrow0^+}=b\)
\(\Rightarrow b=0\Rightarrow b=c=0\)
Lời giải:
Để hàm liên tục tại $x=0$ thì:
\(\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{\sqrt{x+1}-1}{2x}=\lim\limits_{x\to 0-}(2x^2+3mx+1)=1\)
\(\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 0+}\frac{1}{2(\sqrt{x+1}+1)}=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}=0\) (vô lý)
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+4}+2}=\dfrac{1}{4}\)
\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(mx^2+2m+\dfrac{1}{4}\right)=2m+\dfrac{1}{4}\)
Hàm liên tục tại x=0 khi: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow2m+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=0\)
\(f\left(0\right)=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2ax\right)=0\)
Để hàm liên tục tại \(x=0\)
\(\Leftrightarrow f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow1=1=0\) (vô lý)
Vây ko tồn tại giá trị a thỏa mãn yêu cầu
//Bạn coi lại đề chỗ \(x+2ax\) có phải là \(x^2+2a\) hoặc \(x+2a\)?
Khi `x<0` : Hàm số `f(x)` liên tục tại `x=0`.
Khi `x>0`: Hàm số `f(x)` liên tục tại `x=0`.
Có:
`f(0) = 1`
\(\lim_\limits{x\to0^-}f(x)=\lim_\limits{x\to0}(x+2ax)=0\)
\(\lim_\limits{x\to0^+}f(x)(x^2+x+1)=1\)
`=>` \(\lim_\limits{x\to0^-}f(x) \ne \lim_\limits{x\to0^+} f(x)\)
`=>` Không có giá trị của a thỏa mãn.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)
Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:
\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|f\left(x\right)\right|=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2sin\dfrac{1}{x}\right|< \lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2\right|=0\).
Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0\).
\(f\left(0\right)=A\).
Để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\Leftrightarrow A=0\).
Để xét hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) ta xét giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}xsin\dfrac{1}{x}=0\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x=0\).
\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(x^2+x+1\right)=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(ax+2\right)=a+2\)
Hàm liên tục tại x=1 khi:
\(a+2=3\Leftrightarrow a=1\)
Để hàm số có đạo hàm tại 1 điểm thì nó phải liên tục tại điểm đó đồng thời đạo hàm trái bằng đạo hàm phải
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(2ax+1\right)=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+ax+1\right)=1\)
\(\Rightarrow\) Hàm liên tục tại \(x=1\)
\(y'\left(0^+\right)=2a\)
\(y'\left(0^-\right)=\left(2x+a\right)_{x=0^-}=a\)
Hàm có đạo hàm tại x=0 \(\Leftrightarrow2a=a\Leftrightarrow a=0\)