Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số f ( x )  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1 ; 2  thỏa mãn f ( 2 ) = 0 , ∫ 1 2 f ( x ) 2 d x = 1 45  và ∫ 1 2 x - 1 f x d x = - 1 30 . Tính I = ∫ 1 2 f ( x ) d x .

A. I =  - 1 12

B. I =  - 1 15

C. I = - 1 36

D. I =  1 12

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Ta có  - 1 30 = ∫ 1 2 x - 1 f ( x ) d x = 1 2 ∫ 1 2 f ( x ) d x - 1 2

= 1 2 x - 1 2 f ( x ) 1 2 - 1 2 ∫ 1 2 x - 1 2 f ' x d x

⇔ ∫ 1 2 x - 1 2 f ' ( x ) d x = 1 15

Ta lại có  ∫ 1 2 x - 1 4 d x = 1 5 x - 1 5 1 2 = 1 5

Từ giả thiết và các kết quả ta có

9 ∫ 1 2 f ' ( x ) 2 d x - 6 ∫ 1 2 x - 1 2 f ' ( x ) d x + ∫ 1 2 x - 1 4 d x = 0

Mặt khác:

9 ∫ 1 2 f ' ( x ) 2 d x - 6 ∫ 1 2 x - 1 2 f ' ( x ) d x + ∫ 1 2 x - 1 4 d x = ∫ 1 2 3 f ' ( x ) - x - 1 2 2

Do vậy xét trên đoạn [1;2] , ta có

3 f ' ( x ) - ( x - 1 ) 2 = 0 ⇔ f ' ( x ) = 1 3 x - 1 2 ⇒ f ( x ) = 1 9 x - 1 3 + c  

Lại do f(2) = 0 nên C + 1 9 = 0 ⇔ C = - 1 9 ⇒ f ( x ) = 1 9 x - 1 3 - 1 9  

Suy ra I = 1 9 ∫ 1 2 x - 1 3 - 1 d x = 1 36 x - 1 4 1 2 - 1 9 x - 1 1 2 = - 1 12