Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta'=\left(k-1\right)^2+4k=\left(k+1\right)^2\)
Để pt có 2 nghiệm pb \(\Leftrightarrow k\ne-1\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\frac{\left(k-1\right)+\left(k+1\right)}{1}=2k\\x_2=\frac{\left(k-1\right)-\left(k+1\right)}{2}=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3.2k-\left(-2\right)=2\Rightarrow k=0\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=-2\\x_2=2k\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3.\left(-2\right)-2k=2\Rightarrow k=-4\)
k thỏa mãn hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_x>0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k^2-4k+5>0\\\dfrac{4k-5}{1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(k-2\right)^2+1>0\\k>\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow k>\dfrac{5}{4}\)
Điều kiện để có pt bậc hai có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu là:
\(\hept{\begin{cases}\Delta'>0\\x_1.x_2=\frac{c}{a}>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k^2-4k+5>0\\4k-5>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(k-2\right)^2+1>0\\k>\frac{5}{4}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow k>\frac{5}{4}\)
ta có \(\left(1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)^2\)
= \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}\)\(+\frac{2}{k-1}-\frac{2}{k}-\frac{2}{k\left(k-1\right)}\)
=\(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+\frac{2k-2k+2-2}{k\left(k-1\right)}\)
= \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}\)
=> \(\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}\)= \(1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\)(đpcm)
Ta có △=\(b^2-4ac>0\Leftrightarrow\left[-2\left(k-1\right)\right]^2-4.1.\left(-4k\right)>0\Leftrightarrow4k^2-8k+4+16k^2>0\Leftrightarrow20k^2-8k+4>0\Leftrightarrow5k^2-2K+1>0\)(luôn đúng)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi k\(\in R\)
Theo định lí Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2k-2}{1}=2k-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4k}{1}=-4k\end{matrix}\right.\)
Mà ta có\(3x_1-x_2=2\Leftrightarrow3x_1+3x_2-4x_2=2\Leftrightarrow3\left(x_1+x_2\right)-4x_2=2\Leftrightarrow3\left(2k-2\right)-4x_2=2\Leftrightarrow6k-6-2=4x_2\Leftrightarrow6k-8=4x_2\Leftrightarrow x_2=\frac{3k-4}{2}\)
\(\Rightarrow x_1=2k-2-\frac{3k-4}{2}=\frac{4k-4-3k+4}{2}=\frac{k}{2}\)
Vậy \(x_1x_2=-4k\Leftrightarrow\frac{k}{2}.\frac{3k-4}{2}=-4k\Leftrightarrow3k^2-4k=-16k\Leftrightarrow3k^2+12k=0\Leftrightarrow k\left(k+4\right)=0\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}k=0\\k=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy k=0 hoặc k=-4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(3x_1-x_2=2\)
