Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b/ không mất tính tổng quát ta giả sử: a = b + c thì
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{b^2+2bc+c^2-c^2}{2\left(b+c\right)b}=\frac{2b^2+2bc}{2b^2+2bc}=1\)
Tương tự
\(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=\frac{2c^2+2ac}{2c^2+2ac}=1\)
\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{-2bc}{2bc}=-1\)
Vậy trong ba số luôn có 2 số = 1 và 1 số = - 1
\(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}+\frac{a^2-b^2+c^2}{2ca}=1\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-2abc-a^3-b^3-c^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b+c\)hoặc \(b=a+c\)hoặc \(c=a+b\)
Vậy trong 3 số có 1 số bẳng tổng 2 số kia
\(ĐK:a,b,c\ne0\)
Ta có: \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)\(\Leftrightarrow\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1\right)+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}-1\right)+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{2ca}-\frac{\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)}{2ab}=0\)\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0\)
Trường hợp 1: \(b+c-a=0\)thì
+) \(\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{2bc}=0\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-1\)
+) \(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)
\(\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1\)
Điều này chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1
Trường hợp 2: \(c+a-b=0\) thì
+) \(\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1\)
+) \(\frac{\left(c+a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=-1\)
\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)
Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1
Trường hợp 3: \(a+b-c=0\)
+) \(\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1\)
+) \(\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1\)
\(\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1\)
Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1 (đpcm)
cho mình hỏi tại sao từ
\(\left(b+c-a\right)\cdot\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0\)
lại có thể suy ra được
\(\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0\) vậy ?
