Question

[Biện Bạch Ngọc]

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm I nằm giữa A và O. Qua I kẻ dây cung CD rồi kẻ AH, OE,BK vuông góc với CD. Đường thằng OA cắt BH ở F. CMR:
a) F là trung điểm của HB và CH=KD

b) OE=\(\dfrac{BK-AH}{2}\)

c) AI.IK=IH.IB

Answer 1

[Ngô Kim Tuyền]

a) Ta có:

OE \(\perp CD\left(gt\right)\left(1\right)\)

AH \(\perp CD\left(gt\right)\left(2\right)\)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow OE\) // AH \(\Rightarrow OF\) // AH (3)

Mà OA = OB = R (gt) (4)

Từ (3), (4) \(\Rightarrow FH=FB\left(5\right)\)

Nên F là trung điểm của HB

Ta lại có:

BK \(\perp CD\left(gt\right)\left(6\right)\)

Từ (1), (6) \(\Rightarrow OE\) // BK \(\Rightarrow EF\) // BK (7)

Từ (5), (7) \(\Rightarrow EH=EK\) (8)

Tư (1) \(\Rightarrow EC=ED\) (quan hệ giữa dây và đường kính) (9)

Mà CH + EH = EC (10)

Và KD + EK = ED (11)

Từ (8), (9), (10), (11) \(\Rightarrow CH=KD\)

b) Từ (4), (5) \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình của \(\Delta ABH\)

\(\Rightarrow OF=\dfrac{AH}{2}\) (12)

Từ (5), (8) \(\Rightarrow EF\) là đường trung bình của \(\Delta HKB\)

\(\Rightarrow EF=\dfrac{BK}{2}\)

\(\Leftrightarrow OE+OF=\dfrac{BK}{2}\)(13)

(12), (13) \(\Leftrightarrow\) OE + \(\dfrac{AH}{2}=\dfrac{BK}{2}\)

\(\Leftrightarrow OE=\dfrac{BK}{2}-\dfrac{AH}{2}=\dfrac{BK-AH}{2}\)

Vậy \(OE=\dfrac{BK-AH}{2}\)

c) Từ (2), (6) \(\Rightarrow AH\) // BK, theo hệ quả của định lí Ta -lét ta có:

\(\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{IH}{IK}\)\(\Leftrightarrow IA.IK=IH.IB\)

Answer 2

[Kha Nguyễn]