Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Dễ thấy tg AOB ~ tg COI => OA/OC = OB/OI => OA.OI = OB.OC = R^2 (1)
b)
Trong (O) : ^CED = ^CBD ( cùng chắn cung CD) hay ^CEK = ^CAB (2)
Trong (ABC) : ^CIA = ^CAB (cùng chắn cung CA) hay ^CIK = ^CAB (3)
Từ (2) và (3) => ^CEK = ^CIK => CEIK nội tiếp
Vì CEKI nội tiếp => AK.AI = AC.AE (4)
Mà trong (O) có cát tuyến ACE nên có hệ thức : AC.AE = OA^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2 (5)
Mặt khác từ (1) => OI = R^2/OA = R^2/2R = R/2 => AI = OA + OI = 2R + R/2 = 5R/2 (6)
Từ (4) ; (5); (6) => AK = AC.AE/AI = 3R^2/(5R/2) = 6R/5
c) OA cắt (O) tại M, N (M nằm giữa A và K) =>
MK = AK - AM = 6R/5 - R = R/5
NK = AN - AK = 3R - 6R/5 = 9R/5
Vì EMDN nội tiếp (O) nên tương tự câu a) ta có : DK.EK = MK.NK = 9R^2/25 (7)
Mặt khác nếu trên đoạn OK lấy J sao cho JK = 3R/10 => J cố định và AK.JK = (6R/5).(3R/10) = 9R^2/25 (8)
Từ (7) và (8) => AK.JK = DK.EK => ADJE nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tg ADE luôn đi qua AJ hay tâm của có luôn chạy trên đường thẳng trung trực của đoạn AJ cố định xác định như trên
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
a: góc KOA+góc BOA=90 độ
góc KAO+góc COA=90 độ
mà góc BOA=góc COA
nên góc KOA=góc KAO
=>ΔKAO cân tại K
b: Xét ΔOBA vuông tại B có sin BAO=OB/OA=1/2
nên góc BAO=30 độ
=>góc BOA=60 độ
Xét ΔOBI có OB=OI và góc BOI=60 độ
nên ΔOBI đều
=>OI=OB=1/2OA=R
=>I là trung điểm của OA
ΔKAO cân tại K
mà KI là trung tuyến
nên KI vuông góc với OI
=>KI là tiếp tuyến của (O)
